(本题满分 11 分) 设有方程 $x^n + nx - 1 = 0$ ，其中 $n$ 为正整数。证明此方程存在唯一正实根 $x_n$ ，并证明当 $\alpha > 1$ 时，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_n^\alpha$ 收敛。