(本题满分 12 分) 设数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $0 < x_{1} < \pi, x_{n+1} = \sin x_{n} (n = 1,2,\dots)$ . （I）证明 $\lim_{n\to \infty}x_n$ 存在，并求该极限； （Ⅱ）计算 $\lim_{n\to \infty}\left(\frac{x_{n + 1}}{x_n}\right)^{\frac{1}{x^n}}.$