(本题满分 9 分) 设函数 $z = f(xy, yg(x))$ ，其中函数 $f$ 具有二阶连续偏导数，函数 $g(x)$ 可导，且在 $x = 1$ 处取得极值 $g(1) = 1$ . 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \Big|_{\substack{x = 1 \\ y = 1}}$ .