(本题满分 11 分) 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且分别服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 与 $N(\mu, 2\sigma^2)$ , 其中 $\sigma$ 是未知参数且 $\sigma > 0$ . 记 $Z = X - Y$ . (I)求 $Z$ 的概率密度 $f(z;\sigma^2)$ (II) 设 $Z_{1}, Z_{2}, \dots, Z_{n}$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本，求 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量 $\widehat{\sigma^{2}}$ ； (III) 证明 $\widehat{\sigma^2}$ 为 $\sigma^2$ 的无偏估计量.