(本题满分 11 分) 设二维随机变量 $(X,Y)$ 在区域 $D = \{(x,y) \mid 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x}\}$ 上服从均匀分布，令 $U = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & X \leqslant Y, \\ 0, & X > Y. \end{array} \right.$ (I) 写出 $(X, Y)$ 的概率密度; （Ⅱ）问 $U$ 与 $X$ 是否相互独立？并说明理由； （Ⅲ）求 $Z = U + X$ 的分布函数 $F(z)$