设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，则 $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x = (\quad)$ (A) $\lim_{n\to \infty}\sum_{k = 1}^{n}f\left(\frac{2k - 1}{2n}\right)\frac{1}{2n}$ (B) $\lim_{n\to \infty}\sum_{k = 1}^{n}f\left(\frac{2k - 1}{2n}\right)\frac{1}{n}$ (C) $\lim_{n\to \infty}\sum_{k = 1}^{2n}f\left(\frac{k - 1}{2n}\right)\frac{1}{n}$ (D) $\lim_{n\to \infty}\sum_{k = 1}^{2n}f\left(\frac{k}{2n}\right)\frac{2}{n}$