第4题
已知微分方程 $y''-4y'+3y=0$，请计算(1)方程的通解；(2)求满足条件 $\left.y\right|_{x=0}=6$, $\left.y'\right|_{x=0}=10$ 的特解。
答案
(1) 通解$y=c_1e^x+c_2e^{3x}$($c_1,c_2$为任意常数)；(2) 特解$y=4e^x+2e^{3x}$。
📖 前置知识梳理
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二阶常系数齐次线性微分方程 $y'' + py' + qy = 0$ 的解法：写出特征方程 $r^2 + pr + q = 0$，求其根 $r_{1,2} = \frac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$。根据根的情况有三种通解形式：(1) 两个不同实根 $r_1 \neq r_2$，则 $y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$；(2) 两个相同实根 $r_1 = r_2$，则 $y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{r_1 x}$；(3) 一对共轭复根 $r_{1,2} = \alpha \pm \beta i$，则 $y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$。本题属于第一种情况。
📋 解题步骤
1
特征方程及根
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特征方程为
$$r^2-4r+3=0,$$
求其根为$r_1=1, r_2=3$。
$$r^2-4r+3=0,$$
求其根为$r_1=1, r_2=3$。
2
通解
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则方程的通解为
$$y=c_1e^x+c_2e^{3x},$$
其中$c_1,c_2$为任意常数。
$$y=c_1e^x+c_2e^{3x},$$
其中$c_1,c_2$为任意常数。
3
求导并代入初值条件
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且
$$y'=c_1e^x+3c_2e^{3x}.$$
由$\left.y\right|_{x=0}=6\Rightarrow c_1+c_2=6$，
由$\left.y'\right|_{x=0}=10\Rightarrow c_1+3c_2=10$。
$$y'=c_1e^x+3c_2e^{3x}.$$
由$\left.y\right|_{x=0}=6\Rightarrow c_1+c_2=6$，
由$\left.y'\right|_{x=0}=10\Rightarrow c_1+3c_2=10$。
4
解常数
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解得$c_1=4, c_2=2$。
5
特解
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故特解为
$$y=4e^x+2e^{3x}.$$
$$y=4e^x+2e^{3x}.$$
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