第4题
已知微分方程 $y''-4y'+3y=0$，请计算(1)方程的通解；(2)求满足条件 $\left.y\right|_{x=0}=6$, $\left.y'\right|_{x=0}=10$ 的特解。
答案
(1) 通解$y=c_1e^x+c_2e^{3x}$($c_1,c_2$为任意常数)；(2) 特解$y=4e^x+2e^{3x}$。
📋 解题步骤
1
特征方程及根
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特征方程为
$$r^2-4r+3=0,$$
求其根为$r_1=1, r_2=3$。
2
通解
▼
则方程的通解为
$$y=c_1e^x+c_2e^{3x},$$
其中$c_1,c_2$为任意常数。
3
求导并代入初值条件
▼
且
$$y'=c_1e^x+3c_2e^{3x}.$$
由$\left.y\right|_{x=0}=6\Rightarrow c_1+c_2=6$，
由$\left.y'\right|_{x=0}=10\Rightarrow c_1+3c_2=10$。
4
解常数
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解得$c_1=4, c_2=2$。
5
特解
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故特解为
$$y=4e^x+2e^{3x}.$$
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