第8题
已知向量$\vec{a}=(3,-1,-2)$, $\vec{b}=(1,2,1)$, $\vec{c}=(1,2,2)$。(1) 求$\vec{a}\times(2\vec{b})$；(2) 求向量$\vec{a}$与$\vec{b}$夹角的余弦；(3) 求向量$\vec{a}$在向量$\vec{c}$上的投影$\mathrm{prj}_{\vec{c}}\vec{a}$。
答案
(1) $(6,-10,14)$；(2) $\cos\theta=-\dfrac{1}{2\sqrt{21}}$；(3) $\mathrm{prj}_{\vec{c}}\vec{a}=-1$。
📖 前置知识梳理
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向量的基本运算包括：加减法 $\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2, z_1 \pm z_2)$；数乘 $\lambda\vec{a} = (\lambda x_1, \lambda y_1, \lambda z_1)$；数量积 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$；向量积 $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}$。向量夹角公式：$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$，其中 $0 < \theta < \pi$。向量投影：$\text{prj}_{\vec{b}} \vec{a} = |\vec{a}| \cos\theta = \vec{a} \cdot \vec{e}_{\vec{b}}$，其中 $\vec{e}_{\vec{b}} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ 是 $\vec{b}$ 的单位向量。
📋 解题步骤
1
求$\vec{a}\times(2\vec{b})$
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$2\vec{b}=(2,4,2)$。由叉积公式得
$$\vec{a}\times(2\vec{b})=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&-1&-2\\2&4&2\end{vmatrix}=6\vec{i}-10\vec{j}+14\vec{k}=(6,-10,14).$$
$$\vec{a}\times(2\vec{b})=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&-1&-2\\2&4&2\end{vmatrix}=6\vec{i}-10\vec{j}+14\vec{k}=(6,-10,14).$$
2
求夹角余弦
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设夹角为$\theta$，则
$$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{3-2-2}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}}=-\frac{1}{2\sqrt{21}}.$$
$$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{3-2-2}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}}=-\frac{1}{2\sqrt{21}}.$$
3
求投影
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$\vec{c}$方向单位向量为
$$\vec{e}_{\vec{c}}=\frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).$$
故
$$\mathrm{prj}_{\vec{c}}\vec{a}=\vec{a}\cdot\vec{e}_{\vec{c}}=1-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}=-1.$$
$$\vec{e}_{\vec{c}}=\frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).$$
故
$$\mathrm{prj}_{\vec{c}}\vec{a}=\vec{a}\cdot\vec{e}_{\vec{c}}=1-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}=-1.$$
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