第8题
已知向量$\vec{a}=(3,-1,-2)$, $\vec{b}=(1,2,1)$, $\vec{c}=(1,2,2)$。(1) 求$\vec{a}\times(2\vec{b})$；(2) 求向量$\vec{a}$与$\vec{b}$夹角的余弦；(3) 求向量$\vec{a}$在向量$\vec{c}$上的投影$\mathrm{prj}_{\vec{c}}\vec{a}$。
答案
(1) $(6,-10,14)$；(2) $\cos\theta=-\dfrac{1}{2\sqrt{21}}$；(3) $\mathrm{prj}_{\vec{c}}\vec{a}=-1$。
📋 解题步骤
1
求$\vec{a}\times(2\vec{b})$
▼
$2\vec{b}=(2,4,2)$。由叉积公式得
$$\vec{a}\times(2\vec{b})=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&-1&-2\\2&4&2\end{vmatrix}=6\vec{i}-10\vec{j}+14\vec{k}=(6,-10,14).$$
2
求夹角余弦
▼
设夹角为$\theta$，则
$$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{3-2-2}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{6}}=-\frac{1}{2\sqrt{21}}.$$
3
求投影
▼
$\vec{c}$方向单位向量为
$$\vec{e}_{\vec{c}}=\frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right).$$
故
$$\mathrm{prj}_{\vec{c}}\vec{a}=\vec{a}\cdot\vec{e}_{\vec{c}}=1-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}=-1.$$
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