第12题
极限 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin(xy)}{\sqrt{1+xy}-1}=$ ______。
答案
$2$
📖 前置知识梳理
▼
要点1（红色标注）：等价无穷小代换。当 $u\to 0$ 时有：$\sin u \sim u$，$1-\cos u \sim \frac{u^2}{2}$，$\ln(1+u)\sim u$，$e^u-1\sim u$，$(1+u)^\alpha-1\sim \alpha\cdot u$ 等。注意：$u$ 可以是 $x,y$ 的函数。例如 $x\to 0, y\to 0$ 时，$xy\to 0$。两种方法都可以求解：方法1利用等价无穷小代换快速求解；方法2通过有理化消去分母中的根号。
📋 解题步骤
1
等价无穷小代换
▼
当 $(x,y)\to(0,2)$ 时 $xy\to 0$，故 $\sin(xy)\sim xy$，$\sqrt{1+xy}-1\sim \dfrac{1}{2}xy$。
2
求极限
▼
原式 $=\displaystyle\lim\frac{xy}{\frac{1}{2}xy}=2$。
倍速：
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📎 添加截图（可选，支持多张）
💬 问答记录
加载中...