第13题
已知函数 $z=\ln(1+x^2+y^2)$，求 $\mathrm{d}z\big|_{\substack{x=1\\ y=2}}$。
答案
$\mathrm{d}z\big|_{(1,2)}=\dfrac{1}{3}\mathrm{d}x+\dfrac{2}{3}\mathrm{d}y$
📖 前置知识梳理
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要点1（红色标注）：多元函数的全微分。二元函数 $z=f(x,y)$：$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$，$dz\big|_{(x_0,y_0)} = \left(\frac{\partial z}{\partial x}\big|_{(x_0,y_0)}\right)\cdot dx + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\big|_{(x_0,y_0)}\right)\cdot dy$。三元函数 $u=f(x,y,z)$：$du = \frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy + \frac{\partial u}{\partial z}dz$。要点2（红色标注）：多元函数求偏导数。$\frac{\partial z}{\partial x}$——将 $y$ 看作常数，运用一元函数求导公式、方法对 $x$ 求导；$\frac{\partial z}{\partial y}$——将 $x$ 看作常数，运用一元函数求导公式、方法对 $y$ 求导。
📋 解题步骤
1
求偏导数
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$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{2x}{1+x^2+y^2}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{2y}{1+x^2+y^2}$。
2
代入点 $(1,2)$
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$\dfrac{\partial z}{\partial x}\big|_{(1,2)}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}\big|_{(1,2)}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$。
3
写出全微分
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$\mathrm{d}z\big|_{(1,2)}=\dfrac{1}{3}\mathrm{d}x+\dfrac{2}{3}\mathrm{d}y$。
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