第13题
已知函数 $z=\ln(1+x^2+y^2)$，求 $\mathrm{d}z\big|_{\substack{x=1\\ y=2}}$。
答案
$\mathrm{d}z\big|_{(1,2)}=\dfrac{1}{3}\mathrm{d}x+\dfrac{2}{3}\mathrm{d}y$
📋 解题步骤
1
求偏导数
▼
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{2x}{1+x^2+y^2}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{2y}{1+x^2+y^2}$。
2
代入点 $(1,2)$
▼
$\dfrac{\partial z}{\partial x}\big|_{(1,2)}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}\big|_{(1,2)}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$。
3
写出全微分
▼
$\mathrm{d}z\big|_{(1,2)}=\dfrac{1}{3}\mathrm{d}x+\dfrac{2}{3}\mathrm{d}y$。
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