第14题
设 $z=f(2x-y,y\sin x)$，其中函数 $f$ 具有连续的二阶偏导数，计算 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$，$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$。
答案
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=2f_1'+y\cos x\,f_2'$；$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=-2f_{11}''+(2\sin x-y\cos x)f_{12}''+y\sin x\cos x\,f_{22}''+\cos x\,f_2'$
📋 解题步骤
1
一阶偏导数
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$\dfrac{\partial z}{\partial x}=2f_1'+y\cos x\,f_2'$。
2
对 $y$ 求偏导
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$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=2\left(-f_{11}''+f_{12}''\sin x\right)+\cos x\,f_2'+y\cos x\left(-f_{21}''+f_{22}''\sin x\right)$。
3
合并同类项
▼
因 $f$ 具有连续二阶偏导，$f_{12}''=f_{21}''$，整理得 $-2f_{11}''+(2\sin x-y\cos x)f_{12}''+y\sin x\cos x\,f_{22}''+\cos x\,f_2'$。
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