要点1（红色标注）：梯度公式。二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的梯度向量：$\text{grad }f(x_0,y_0)=(f_x(x_0,y_0), f_y(x_0,y_0))$。三元函数 $u=f(x,y,z)$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的梯度向量：$\text{grad }f(x_0,y_0,z_0)=(f_x, f_y, f_z)\big|_{(x_0,y_0,z_0)}$。要点2（红色标注）：方向导数公式。函数 $f$ 在 $M_0$ 处沿方向 $\vec{l}$ 的方向导数：平面情形 $\frac{\partial f}{\partial \vec{l}} = \frac{\partial f}{\partial x}\big|_{M_0}\cos\alpha + \frac{\partial f}{\partial y}\big|_{M_0}\cos\beta$；空间情形 $\frac{\partial f}{\partial \vec{l}} = \frac{\partial f}{\partial x}\big|_{M_0}\cos\alpha + \frac{\partial f}{\partial y}\big|_{M_0}\cos\beta + \frac{\partial f}{\partial z}\big|_{M_0}\cos\gamma$。

要点3：梯度的性质——函数 $f$ 在 $M_0$ 处沿其正梯度 $\text{grad }f(M_0)$ 方向，方向导数最大，其最大值为 $|\text{grad }f(M_0)|$；沿负梯度方向，方向导数最小，其最小值为 $-|\text{grad }f(M_0)|$。