第15题
函数 $u=x^2+y\cos z$ 在点 $A(1,0,-2)$ 处的梯度向量 $\mathrm{grad}\,u\big|_A=$ ______；在点 $A(1,0,-2)$ 处沿从点 $A$ 到 $B(-1,1,0)$ 方向的方向导数为 ______。
答案
$\mathrm{grad}\,u\big|_A=(2,\cos 2,0)$；方向导数为 $\dfrac{\cos 2-4}{3}$
📋 解题步骤
1
求偏导数
▼
$\dfrac{\partial u}{\partial x}=2x$，$\dfrac{\partial u}{\partial y}=\cos z$，$\dfrac{\partial u}{\partial z}=-y\sin z$。
2
计算梯度
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代入 $A(1,0,-2)$ 得 $\mathrm{grad}\,u\big|_A=(2,\cos 2,0)$。
3
求方向导数
▼
$\overrightarrow{AB}=(-2,1,2)$，模长为 $3$；方向余弦 $\cos\alpha=-\dfrac{2}{3},\cos\beta=\dfrac{1}{3},\cos\gamma=\dfrac{2}{3}$。方向导数 $=2\left(-\dfrac{2}{3}\right)+\cos 2\left(\dfrac{1}{3}\right)+0=\dfrac{\cos 2-4}{3}$。
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