第16题
设 $\dfrac{x}{y}=\ln\dfrac{z}{y}$，求该方程确定函数的导数 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}$。
答案
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{z}{y}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{z(y-x)}{y^2}$
📖 前置知识梳理
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要点（红色标注）：一个三元方程所确定隐函数的求导公式。$F(x,y,z)=0 \Rightarrow z=z(x,y)$，则 $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$（交叉对应添负号）。注意：$F_x, F_y, F_z$ 表示三元函数 $F(x,y,z)$ 对各自变量求偏导。本题展示了三种方法：公式法、直接求导法、显化后再求导法。当隐函数可以显化时，显化后求导往往更简便。
📋 解题步骤
1
公式法
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令 $F(x,y,z)=\dfrac{x}{y}-\ln z+\ln y$，则 $F_x=\dfrac{1}{y}$，$F_y=-\dfrac{x}{y^2}+\dfrac{1}{y}$，$F_z=-\dfrac{1}{z}$。
2
代入隐函数求导公式
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$\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x}{F_z}=\dfrac{z}{y}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F_y}{F_z}=\dfrac{z(y-x)}{y^2}$。
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