第17题
设函数 $x=x(z)$，$y=y(z)$ 由方程组 $\begin{cases}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2=1\end{cases}$ 确定，求 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}$，$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}$。
答案
$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}=\dfrac{y-z}{x-y}$，$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}=\dfrac{z-x}{x-y}$（$x
eq y$）
📋 解题步骤
1
方程组对 $z$ 求导
▼
$\begin{cases}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}+\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}+1=0\\2x\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}+2y\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}+2z=0\end{cases}$
2
解线性方程组
▼
消去 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}$ 解得 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}=\dfrac{y-z}{x-y}$，$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}=\dfrac{z-x}{x-y}$（$x
eq y$）。
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