第17题
设函数 $x=x(z)$，$y=y(z)$ 由方程组 $\begin{cases}x+y+z=0\\x^2+y^2+z^2=1\end{cases}$ 确定，求 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}$，$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}$。
答案
$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}=\dfrac{y-z}{x-y}$，$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}=\dfrac{z-x}{x-y}$（$x\neq y$）
📖 前置知识梳理
▼
要点1：三元方程组 $\begin{cases} F(x,y,z)=0 \ G(x,y,z)=0 \end{cases}$ 所确定的隐函数为两个一元函数，可能的形式有 $\begin{cases} z=z(x) \ y=y(x) \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=x(y) \ z=z(y) \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=x(z) \ y=y(z) \end{cases}$，对应求 $\dfrac{dz}{dx}, \dfrac{dy}{dx}$ 或 $\dfrac{dx}{dy}, \dfrac{dz}{dy}$ 或 $\dfrac{dx}{dz}, \dfrac{dy}{dz}$。
要点2：求导方法是方程组两端对自变量求导（如 $x$ 为自变量），对 $\begin{cases} F(x,y,z)=0 \ G(x,y,z)=0 \end{cases}$ 对 $x$ 求导，$y, z$ 当作 $x$ 的函数，得到 $\begin{cases} F_x + F_y \cdot \dfrac{dy}{dx} + F_z \cdot \dfrac{dz}{dx} = 0 \ G_x + G_y \cdot \dfrac{dy}{dx} + G_z \cdot \dfrac{dz}{dx} = 0 \end{cases}$，再解方程组。
要点2：求导方法是方程组两端对自变量求导（如 $x$ 为自变量），对 $\begin{cases} F(x,y,z)=0 \ G(x,y,z)=0 \end{cases}$ 对 $x$ 求导，$y, z$ 当作 $x$ 的函数，得到 $\begin{cases} F_x + F_y \cdot \dfrac{dy}{dx} + F_z \cdot \dfrac{dz}{dx} = 0 \ G_x + G_y \cdot \dfrac{dy}{dx} + G_z \cdot \dfrac{dz}{dx} = 0 \end{cases}$，再解方程组。
📋 解题步骤
1
方程组对 $z$ 求导
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$\begin{cases}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}+\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}+1=0\\2x\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}+2y\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}+2z=0\end{cases}$
2
解线性方程组
▼
消去 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}$ 解得 $\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}z}=\dfrac{y-z}{x-y}$，$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}=\dfrac{z-x}{x-y}$（$x\neq y$）。
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