第18题
设 $z^3-2xz+y=0$，求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$，$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$。
答案
$\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{2z}{3z^2-2x}$，$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\dfrac{6z^2+4x}{(3z^2-2x)^3}$
📖 前置知识梳理
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要点1：三元方程 $F(x,y,z)=0$ 所确定隐函数的求导公式为 $\dfrac{\partial z}{\partial x} = -\dfrac{F_x}{F_z}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y} = -\dfrac{F_y}{F_z}$。
要点2：求三元方程所确定隐函数的二阶导数时，注意一阶导数表达式中仍含有三个变量 $x, y, z$，其中 $z$ 应当作 $x,y$ 的函数，求二阶导数时需用链式法则。
要点2：求三元方程所确定隐函数的二阶导数时，注意一阶导数表达式中仍含有三个变量 $x, y, z$，其中 $z$ 应当作 $x,y$ 的函数，求二阶导数时需用链式法则。
📋 解题步骤
1
一阶偏导数
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令 $F=z^3-2xz+y$，则 $F_x=-2z$，$F_y=1$，$F_z=3z^2-2x$。$\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x}{F_z}=\dfrac{2z}{3z^2-2x}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{1}{3z^2-2x}$。
2
混合偏导数
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$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\left(\dfrac{2z}{3z^2-2x}\right)=\dfrac{2\dfrac{\partial z}{\partial y}(3z^2-2x)-2z\cdot 6z\dfrac{\partial z}{\partial y}}{(3z^2-2x)^2}=\dfrac{2\dfrac{\partial z}{\partial y}(-3z^2-2x)}{(3z^2-2x)^2}$。
3
代入化简
▼
将 $\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{1}{3z^2-2x}$ 代入，得 $\dfrac{6z^2+4x}{(3z^2-2x)^3}$。
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