第19题
求函数 $f(x,y)=e^{2x}(x+y^2+2y)$ 的极值。
答案
极小值 $f\left(\dfrac{1}{2},-1\right)=-\dfrac{e}{2}$
📖 前置知识梳理
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要点1：二元函数 $f(x,y)$ 处处具有二阶连续偏导数，求极值的充分条件为：① $(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 的驻点（即 $f_x(x_0,y_0)=0, f_y(x_0,y_0)=0$）；② 记 $A=f_{xx}(x_0,y_0), B=f_{xy}(x_0,y_0), C=f_{yy}(x_0,y_0)$，则 $AC-B^2>0$ 且 $A<0$ 时 $f(x_0,y_0)$ 为极大值；$AC-B^2>0$ 且 $A>0$ 时 $f(x_0,y_0)$ 为极小值；$AC-B^2<0$ 时不是极值；$AC-B^2=0$ 时可能是也可能不是极值。
要点2：求 $f(x,y)$ 极值的解题步骤：1. 求 $f_x, f_y$，并令 $f_x=f_y=0$ 求出全部驻点；2. 求二阶偏导数 $f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}$；3. 在每个驻点处求 $A,B,C$，判断。
要点2：求 $f(x,y)$ 极值的解题步骤：1. 求 $f_x, f_y$，并令 $f_x=f_y=0$ 求出全部驻点；2. 求二阶偏导数 $f_{xx}, f_{xy}, f_{yy}$；3. 在每个驻点处求 $A,B,C$，判断。
📋 解题步骤
1
求驻点
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$f_x=e^{2x}(2x+2y^2+4y+1)$，$f_y=e^{2x}(2y+2)$。令 $f_x=f_y=0$ 得唯一驻点 $\left(\dfrac{1}{2},-1\right)$。
2
二阶偏导数判别
▼
$f_{xx}=e^{2x}(4x+4y^2+8y+4)$，$f_{xy}=e^{2x}(4y+4)$，$f_{yy}=2e^{2x}$。在 $\left(\dfrac{1}{2},-1\right)$ 处 $A=2e$，$B=0$，$C=2e$。
3
判断极值
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$AC-B^2=4e^2>0$ 且 $A>0$，故为极小值点，极小值 $f\left(\dfrac{1}{2},-1\right)=-\dfrac{e}{2}$。
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