第19题
求函数 $f(x,y)=e^{2x}(x+y^2+2y)$ 的极值。
答案
极小值 $f\left(\dfrac{1}{2},-1\right)=-\dfrac{e}{2}$
📋 解题步骤
1
求驻点
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$f_x=e^{2x}(2x+2y^2+4y+1)$，$f_y=e^{2x}(2y+2)$。令 $f_x=f_y=0$ 得唯一驻点 $\left(\dfrac{1}{2},-1\right)$。
2
二阶偏导数判别
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$f_{xx}=e^{2x}(4x+4y^2+8y+4)$，$f_{xy}=e^{2x}(4y+4)$，$f_{yy}=2e^{2x}$。在 $\left(\dfrac{1}{2},-1\right)$ 处 $A=2e$，$B=0$，$C=2e$。
3
判断极值
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$AC-B^2=4e^2>0$ 且 $A>0$，故为极小值点，极小值 $f\left(\dfrac{1}{2},-1\right)=-\dfrac{e}{2}$。
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