第20题
求函数 $f(x,y)=x^2+2y^2-x$ 在区域 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$ 上的最大值和最小值。
答案
最大值 $\dfrac{9}{4}$，最小值 $-\dfrac{1}{4}$
📖 前置知识梳理
▼
要点1：二元函数的条件极值使用拉格朗日乘数法。目标函数 $f(x,y)$，约束条件 $\varphi(x,y)=0$。步骤：1. 构造拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda \varphi(x,y)$，其中 $\lambda$ 为 Lagrange 乘子；2. 对 $L(x,y,\lambda)$ 关于各变量求偏导并令其为零：$\begin{cases} L_x = f_x + \lambda \varphi_x = 0 \ L_y = f_y + \lambda \varphi_y = 0 \ L_\lambda = \varphi(x,y) = 0 \end{cases}$，解出全部驻点（可能极值点）；3. 判断：若驻点唯一，则为所求极值（最值）点；若驻点不唯一，比较各驻点函数值。
要点3：多条件极值问题（本题未考），目标函数 $f(x,y,z)$，约束条件 $\begin{cases} \varphi(x,y,z)=0 \ \psi(x,y,z)=0 \end{cases}$，拉格朗日函数 $L(x,y,z,\lambda,\mu) = f(x,y,z) + \lambda \varphi(x,y,z) + \mu \psi(x,y,z)$，令 $L_x=L_y=L_z=L_\lambda=L_\mu=0$。
要点3：多条件极值问题（本题未考），目标函数 $f(x,y,z)$，约束条件 $\begin{cases} \varphi(x,y,z)=0 \ \psi(x,y,z)=0 \end{cases}$，拉格朗日函数 $L(x,y,z,\lambda,\mu) = f(x,y,z) + \lambda \varphi(x,y,z) + \mu \psi(x,y,z)$，令 $L_x=L_y=L_z=L_\lambda=L_\mu=0$。
📋 解题步骤
1
内部驻点
▼
令 $f_x=2x-1=0$，$f_y=4y=0$，得驻点 $P_1\left(\dfrac{1}{2},0\right)$，$f(P_1)=-\dfrac{1}{4}$。
2
边界拉格朗日乘数法
▼
设 $L=x^2+2y^2-x+\lambda(x^2+y^2-1)$，则 $L_x=2x-1+2\lambda x=0$，$L_y=4y+2\lambda y=0$，$L_\lambda=x^2+y^2-1=0$。
3
求解边界极值点
▼
由 $L_y=0$ 得 $y=0$ 或 $\lambda=-2$。当 $y=0$ 时 $x=\pm 1$，得 $P_2(1,0)$、$P_3(-1,0)$；当 $\lambda=-2$ 时 $x=-\dfrac{1}{2}$，$y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，得 $P_4\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$P_5\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$。
4
比较函数值
▼
$f(P_2)=0$，$f(P_3)=2$，$f(P_4)=f(P_5)=\dfrac{9}{4}$。比较得最大值 $\dfrac{9}{4}$，最小值 $-\dfrac{1}{4}$。
倍速：
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📎 添加截图（可选，支持多张）
💬 问答记录
加载中...