第20题
求函数 $f(x,y)=x^2+2y^2-x$ 在区域 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$ 上的最大值和最小值。
答案
最大值 $\dfrac{9}{4}$，最小值 $-\dfrac{1}{4}$
📋 解题步骤
1
内部驻点
▼
令 $f_x=2x-1=0$，$f_y=4y=0$，得驻点 $P_1\left(\dfrac{1}{2},0\right)$，$f(P_1)=-\dfrac{1}{4}$。
2
边界拉格朗日乘数法
▼
设 $L=x^2+2y^2-x+\lambda(x^2+y^2-1)$，则 $L_x=2x-1+2\lambda x=0$，$L_y=4y+2\lambda y=0$，$L_\lambda=x^2+y^2-1=0$。
3
求解边界极值点
▼
由 $L_y=0$ 得 $y=0$ 或 $\lambda=-2$。当 $y=0$ 时 $x=\pm 1$，得 $P_2(1,0)$、$P_3(-1,0)$；当 $\lambda=-2$ 时 $x=-\dfrac{1}{2}$，$y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，得 $P_4\left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$P_5\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$。
4
比较函数值
▼
$f(P_2)=0$，$f(P_3)=2$，$f(P_4)=f(P_5)=\dfrac{9}{4}$。比较得最大值 $\dfrac{9}{4}$，最小值 $-\dfrac{1}{4}$。
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