第21题
求平面 $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{4}=1$ 和柱面 $x^2+y^2=1$ 的交线上与 $xOy$ 平面距离最短的点。
答案
$\left(\dfrac{3}{\sqrt{13}},\dfrac{2}{\sqrt{13}},4-\dfrac{2\sqrt{13}}{3}\right)$
📖 前置知识梳理
▼
要点：区域条件极值问题，求函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$（曲线 $\varphi(x,y)=0$ 围成）上的最值。步骤：1. 求 $f_x, f_y$，并令 $f_x=f_y=0$，解出 $f(x,y)$ 在 $D$ 内的全部驻点（可疑极值点）；2. 求 $f(x,y)$ 在 $D$ 的边界（$L: \varphi(x,y)=0$）上的可能极值点；3. 比较 1、2 中诸点处的函数值。补充：第2步中，也可以化条件极值为无条件极值。
📋 解题步骤
1
建立拉格朗日函数
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目标函数为距离 $|z|$，等价于最小化 $z^2$。设 $L=z^2+\lambda\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{4}-1\right)+\mu(x^2+y^2-1)$。
2
求偏导并解方程组
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$L_x=\dfrac{\lambda}{2}+2\mu x=0$，$L_y=\dfrac{\lambda}{3}+2\mu y=0$，$L_z=2z+\dfrac{\lambda}{4}=0$，及两个约束条件。解得 $x=\pm\dfrac{3}{\sqrt{13}}$，$y=\pm\dfrac{2}{\sqrt{13}}$（同号）。
3
求对应 $z$ 并比较
▼
由平面方程得 $z=4-\dfrac{2\sqrt{13}}{3}$（取正号）或 $z=4+\dfrac{2\sqrt{13}}{3}$（取负号）。最短距离对应取正号的点。
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