第22题
设空间曲线 $\Gamma:\begin{cases}x=t\\y=1+\sin t\\z=e^t-t\end{cases}$，求该曲线在点 $M(0,1,1)$ 处的切线与法平面方程。
答案
切线：$\begin{cases}x=y-1\\z=1\end{cases}$；法平面：$x+y-1=0$
📖 前置知识梳理
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要点1：参见例20要点3（多条件极值问题）。
要点2：当目标函数 $f(x,y)$ 较复杂，或不方便求偏导时，要善于转化。如：求 $f(x,y)$ 的最小值，只须求 $\dfrac{1}{f(x,y)}$ 的最大值；求 $|f(x,y)|$ 的最小值，只须求 $f^2(x,y)$ 的最小值等。本题将 $|z|$ 转化为 $z^2$ 来处理。
要点2：当目标函数 $f(x,y)$ 较复杂，或不方便求偏导时，要善于转化。如：求 $f(x,y)$ 的最小值，只须求 $\dfrac{1}{f(x,y)}$ 的最大值；求 $|f(x,y)|$ 的最小值，只须求 $f^2(x,y)$ 的最小值等。本题将 $|z|$ 转化为 $z^2$ 来处理。
📋 解题步骤
1
确定参数值
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点 $M(0,1,1)$ 对应参数 $t=0$。
2
求切向量
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$\vec{T}=(x'(t),y'(t),z'(t))|_{t=0}=(1,\cos t,e^t-1)|_{t=0}=(1,1,0)$。
3
切线方程
▼
$\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{1}=\dfrac{z-1}{0}$，即 $\begin{cases}x=y-1\\z=1\end{cases}$。
4
法平面方程
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$1\cdot(x-0)+1\cdot(y-1)+0\cdot(z-1)=0$，即 $x+y-1=0$。
倍速：
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