第23题
在曲面 $z=xy$ 上求一点，使该点处的法线垂直于平面 $x+3y+z+9=0$，并写出这法线的方程。
答案
点 $(-3,-1,3)$；法线：$\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-3}{1}$
📖 前置知识梳理
▼
要点1：曲线 $\begin{cases} x = \varphi(t) \ y = \psi(t) \ z = \omega(t) \end{cases}$ 上 $t_0$ 对应点 $(\varphi(t_0), \psi(t_0), \omega(t_0))$ 处的切向量为 $\vec{T} = (\varphi'(t_0), \psi'(t_0), \omega'(t_0))$。
要点2：切线方程为 $\dfrac{x - \varphi(t_0)}{\varphi'(t_0)} = \dfrac{y - \psi(t_0)}{\psi'(t_0)} = \dfrac{z - \omega(t_0)}{\omega'(t_0)}$；法平面方程为 $\varphi'(t_0)(x - \varphi(t_0)) + \psi'(t_0)(y - \psi(t_0)) + \omega'(t_0)(z - \omega(t_0)) = 0$。
要点2：切线方程为 $\dfrac{x - \varphi(t_0)}{\varphi'(t_0)} = \dfrac{y - \psi(t_0)}{\psi'(t_0)} = \dfrac{z - \omega(t_0)}{\omega'(t_0)}$；法平面方程为 $\varphi'(t_0)(x - \varphi(t_0)) + \psi'(t_0)(y - \psi(t_0)) + \omega'(t_0)(z - \omega(t_0)) = 0$。
📋 解题步骤
1
求曲面法向量
▼
设点 $M(x_0,y_0,z_0)$ 在曲面上，$z_0=x_0y_0$。令 $F=xy-z$，则法向量 $\vec{n}=(y_0,x_0,-1)$。
2
利用垂直条件
▼
法线垂直于平面，即法向量平行于平面法向量 $\vec{n_1}=(1,3,1)$。故 $\dfrac{y_0}{1}=\dfrac{x_0}{3}=\dfrac{-1}{1}$，解得 $y_0=-1$，$x_0=-3$，$z_0=3$。
3
写法线方程
▼
法线过点 $(-3,-1,3)$，方向向量 $(1,3,1)$，方程为 $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-3}{1}$。
倍速：
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📎 添加截图（可选，支持多张）
💬 问答记录
加载中...