第23题
在曲面 $z=xy$ 上求一点，使该点处的法线垂直于平面 $x+3y+z+9=0$，并写出这法线的方程。
答案
点 $(-3,-1,3)$；法线：$\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-3}{1}$
📋 解题步骤
1
求曲面法向量
▼
设点 $M(x_0,y_0,z_0)$ 在曲面上，$z_0=x_0y_0$。令 $F=xy-z$，则法向量 $\vec{n}=(y_0,x_0,-1)$。
2
利用垂直条件
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法线垂直于平面，即法向量平行于平面法向量 $\vec{n_1}=(1,3,1)$。故 $\dfrac{y_0}{1}=\dfrac{x_0}{3}=\dfrac{-1}{1}$，解得 $y_0=-1$，$x_0=-3$，$z_0=3$。
3
写法线方程
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法线过点 $(-3,-1,3)$，方向向量 $(1,3,1)$，方程为 $\dfrac{x+3}{1}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-3}{1}$。
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