第24题
计算二次积分 $\displaystyle\int_0^1\mathrm{d}x\int_x^1 e^{y^2}\mathrm{d}y$。
答案
$\dfrac{1}{2}(e-1)$
📖 前置知识梳理
▼
要点1：曲面的法向量。情形I：曲面 $F(x,y,z)=0$ 上 $M$ 点处法向量 $\vec{n} = (F_x, F_y, F_z)|_M$。情形II：曲面 $z = f(x,y)$ 上 $M$ 点处法向量 $\vec{n} = (f_x, f_y, -1)|_M$。
要点2：切平面方程：$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$；法线方程：$\dfrac{x-x_0}{A} = \dfrac{y-y_0}{B} = \dfrac{z-z_0}{C}$。
要点2：切平面方程：$A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$；法线方程：$\dfrac{x-x_0}{A} = \dfrac{y-y_0}{B} = \dfrac{z-z_0}{C}$。
📋 解题步骤
1
交换积分次序
▼
积分区域 $D:0\le x\le 1$，$x\le y\le 1$。换序后 $D:0\le y\le 1$，$0\le x\le y$。
2
计算积分
▼
原式 $=\displaystyle\int_0^1\mathrm{d}y\int_0^y e^{y^2}\mathrm{d}x=\int_0^1 y e^{y^2}\mathrm{d}y=\dfrac{1}{2}e^{y^2}\bigg|_0^1$。
倍速：
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