第25题
计算 $\displaystyle\iint_D(x+y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$，其中 $D$ 由 $y=x^2$，$y=4x^2$ 及 $y=1$ 所围成的闭区域。
答案
$\dfrac{2}{5}$
📖 前置知识梳理
▼
本题核心在于交换积分次序。由于 $e^{y^2}$ 对 $y$ 积分没有初等函数形式的原函数（要点2），因此必须将积分区域从X-型改为Y-型，先对 $x$ 积分。积分区域是一个直角三角形，由 $x=0$、$y=1$ 和 $y=x$ 围成。交换次序后，$y$ 的范围是 $[0,1]$，对每个固定的 $y$，$x$ 的范围是 $[0,y]$。先对 $x$ 积分时，$e^{y^2}$ 视为常数，积分结果为 $y \cdot e^{y^2}$，再用凑微分法完成对 $y$ 的积分。
📋 解题步骤
1
利用对称性
▼
区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，$\iint_D x\,\mathrm{d}\sigma=0$（$x$ 为奇函数）。只需计算 $\iint_D y\,\mathrm{d}\sigma$。
2
计算右半部分
▼
取右半区域 $D_1:0\le y\le 1$，$\dfrac{\sqrt{y}}{2}\le x\le\sqrt{y}$。则 $\iint_D y\,\mathrm{d}\sigma=2\int_0^1 y\,\mathrm{d}y\int_{\frac{\sqrt{y}}{2}}^{\sqrt{y}}\mathrm{d}x=2\int_0^1 y\left(\sqrt{y}-\dfrac{\sqrt{y}}{2}\right)\mathrm{d}y$。
3
求值
▼
$=\displaystyle\int_0^1 y^{3/2}\,\mathrm{d}y=\dfrac{2}{5}y^{5/2}\bigg|_0^1=\dfrac{2}{5}$。
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