区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，$\iint_D x\,\mathrm{d}\sigma=0$（$x$ 为奇函数）。只需计算 $\iint_D y\,\mathrm{d}\sigma$。

取右半区域 $D_1:0\le y\le 1$，$\dfrac{\sqrt{y}}{2}\le x\le\sqrt{y}$。则 $\iint_D y\,\mathrm{d}\sigma=2\int_0^1 y\,\mathrm{d}y\int_{\frac{\sqrt{y}}{2}}^{\sqrt{y}}\mathrm{d}x=2\int_0^1 y\left(\sqrt{y}-\dfrac{\sqrt{y}}{2}\right)\mathrm{d}y$。

$=\displaystyle\int_0^1 y^{3/2}\,\mathrm{d}y=\dfrac{2}{5}y^{5/2}\bigg|_0^1=\dfrac{2}{5}$。