第26题
计算 $\displaystyle\iint_D\sqrt{R^2-x^2-y^2}\,\mathrm{d}\sigma$，其中 $D$ 是圆周 $x^2+y^2=Rx$ $(R>0)$ 所围成的闭区域。
答案
$\dfrac{\pi}{3}R^3-\dfrac{4}{9}R^3$
📖 前置知识梳理
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本题巧妙利用对称性简化计算。积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称（由 $y=x^2$ 和 $y=4x^2$ 围成，关于 $y$ 轴对称），被积函数中的 $x$ 关于 $x$ 是奇函数，因此 $\iint_D x\,d\sigma = 0$。只需计算 $\iint_D y\,d\sigma$。由于 $y$ 关于 $x$ 是偶函数，可化为 $2\iint_{D_1} y\,d\sigma$。选择Y-型区域描述 $D_1$ 更为方便，因为左右边界分别为 $x=\sqrt{y}$ 和 $x=\frac{\sqrt{y}}{2}$。
📋 解题步骤
1
利用对称性
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区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，被积函数关于 $y$ 为偶函数，故 $I=2\iint_{D_1}\sqrt{R^2-x^2-y^2}\,\mathrm{d}\sigma$，其中 $D_1$ 为 $D$ 中 $y\ge 0$ 的部分。
2
极坐标变换
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$D_1:0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2}$，$0\le\rho\le R\cos\theta$。积分化为 $I=2\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta\int_0^{R\cos\theta}\sqrt{R^2-\rho^2}\,\rho\,\mathrm{d}\rho$。
3
计算内积分
▼
$\int\sqrt{R^2-\rho^2}\,\rho\,\mathrm{d}\rho=-\dfrac{1}{3}(R^2-\rho^2)^{3/2}$，代入上下限得 $-\dfrac{1}{3}(R^3\sin^3\theta-R^3)$。
4
计算外积分
▼
$I=-\dfrac{2}{3}R^3\int_0^{\pi/2}\sin^3\theta\,\mathrm{d}\theta+\dfrac{2}{3}R^3\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta=-\dfrac{2}{3}R^3\cdot\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}R^3\cdot\dfrac{\pi}{2}$。
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