第27题
设区域 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le R^2\}$，则 $\displaystyle\iint_D\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+2xy\right)\mathrm{d}\sigma=$ ______。
答案
$\dfrac{\pi R^4}{4}\left(\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2}\right)$
📖 前置知识梳理
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本题是典型的极坐标计算二重积分。积分区域是圆 $x^2+y^2=Rx$，即圆心在 $(R/2, 0)$、半径为 $R/2$ 的圆。利用对称性，只需计算上半圆 $D_1$ 再乘以2。关键步骤是将直角坐标方程转化为极坐标方程：$\rho = R\cos\theta$。被积函数 $\sqrt{R^2-x^2-y^2} = \sqrt{R^2-\rho^2}$，面积元素 $d\sigma = \rho\,d\rho\,d\theta$。对 $\rho$ 积分时用凑微分法，令 $u=R^2-\rho^2$。
📋 解题步骤
1
利用对称性消去奇函数项
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区域 $D$ 关于 $x$ 轴、$y$ 轴对称，$2xy$ 为奇函数，故 $\iint_D 2xy\,\mathrm{d}\sigma=0$。
2
轮换对称性
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由轮换对称性 $\iint_D x^2\,\mathrm{d}\sigma=\iint_D y^2\,\mathrm{d}\sigma$，故 $\iint_D\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\right)\mathrm{d}\sigma=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\iint_D(x^2+y^2)\,\mathrm{d}\sigma$。
3
极坐标计算
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$\iint_D(x^2+y^2)\,\mathrm{d}\sigma=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^R\rho^2\cdot\rho\,\mathrm{d}\rho=2\pi\cdot\dfrac{R^4}{4}=\dfrac{\pi R^4}{2}$。
4
代入得结果
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原式 $=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)\cdot\dfrac{\pi R^4}{2}=\dfrac{\pi R^4}{4}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\right)$。
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