第28题
计算 $\displaystyle\iiint_\Omega x\,\mathrm{d}v$，其中 $\Omega$ 是由平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标面所围成的第一卦限的闭区域。
答案
$\dfrac{1}{24}$
📖 前置知识梳理
▼
本题利用对称性将圆域上的积分化为第一象限的4倍。积分区域 $D$ 是圆心在原点、半径为 $r$ 的圆，关于 $x$ 轴和 $y$ 轴都对称。被积函数 $e^{-x^2-y^2}$ 关于 $x$ 和 $y$ 都是偶函数，因此可以使用4倍第一象限的积分。在极坐标下，$e^{-x^2-y^2} = e^{-\rho^2}$，面积元素为 $\rho\,d\rho\,d\theta$。对 $\rho$ 积分时，利用 $\rho\,d\rho = \frac{1}{2}d(\rho^2)$ 进行凑微分。
📋 解题步骤
1
方法一：先一后二
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$\Omega:0\le x\le 1$，$0\le y\le 1-x$，$0\le z\le 1-x-y$。积分 $\int_0^1\mathrm{d}x\int_0^{1-x}\mathrm{d}y\int_0^{1-x-y}x\,\mathrm{d}z$。
2
逐次积分
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$=\displaystyle\int_0^1 x\,\mathrm{d}x\int_0^{1-x}(1-x-y)\,\mathrm{d}y=\int_0^1 x\cdot\dfrac{(1-x)^2}{2}\,\mathrm{d}x=\dfrac{1}{2}\int_0^1(x-2x^2+x^3)\,\mathrm{d}x$。
3
求值
▼
$=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{24}$。
倍速：
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