第29题
计算 $\displaystyle\iiint_\Omega z\,\mathrm{d}v$，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 与曲面 $z=x^2+y^2$ 所围成的闭区域。
答案
$\dfrac{7\pi}{12}$
📖 前置知识梳理
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本题综合运用了轮换对称性和极坐标。圆域 $x^2+y^2 \leq R^2$ 关于直线 $y=x$ 对称，具有轮换对称性。利用轮换对称性，$\iint_D \frac{x^2}{a^2}\,d\sigma = \iint_D \frac{y^2}{a^2}\,d\sigma$，这样可以将被积函数中的 $x^2$ 和 $y^2$ 系数统一，合并为 $x^2+y^2$ 的形式，从而方便使用极坐标计算。在极坐标下 $x^2+y^2=\rho^2$，面积元素 $d\sigma = \rho\,d\rho\,d\theta$，积分变得非常简单。
📋 解题步骤
1
求交线
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联立 $z=\sqrt{2-\rho^2}$ 与 $z=\rho^2$，得 $\rho^4+\rho^2-2=0$，即 $\rho=1$，交线在 $z=1$ 处。
2
柱坐标表示区域
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$\Omega:0\le\theta\le 2\pi$，$0\le\rho\le 1$，$\rho^2\le z\le\sqrt{2-\rho^2}$。
3
计算积分
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$\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1\rho\,\mathrm{d}\rho\int_{\rho^2}^{\sqrt{2-\rho^2}}z\,\mathrm{d}z=\pi\int_0^1\rho[(2-\rho^2)-\rho^4]\,\mathrm{d}\rho$。
4
求值
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$=\pi\left[\rho^2-\dfrac{1}{4}\rho^4-\dfrac{1}{6}\rho^6\right]_0^1=\pi\left(1-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{6}\right)=\dfrac{7\pi}{12}$。
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