曲线 $2z=y^2$ 绕 $z$ 轴旋转，得旋转曲面 $2z=x^2+y^2$，即 $z=\dfrac{x^2+y^2}{2}$。

与平面 $z=8$ 交于 $x^2+y^2=16$。柱坐标下 $\Omega:0\le\theta\le 2\pi$，$0\le\rho\le 4$，$\dfrac{\rho^2}{2}\le z\le 8$。

$\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^4\rho\,\mathrm{d}\rho\int_{\rho^2/2}^8\rho^2\,\mathrm{d}z=2\pi\int_0^4\rho^3\left(8-\dfrac{\rho^2}{2}\right)\,\mathrm{d}\rho$。

$=2\pi\left[2\rho^4-\dfrac{\rho^6}{12}\right]_0^4=2\pi\left(512-\dfrac{1024}{3}\right)=2\pi\cdot\dfrac{512}{3}=\dfrac{1024\pi}{3}$。