第30题
计算 $\displaystyle\iiint_\Omega(x^2+y^2)\,\mathrm{d}v$，其中 $\Omega$ 是由 $zOy$ 面上的曲线 $2z=y^2$ 绕 $z$ 轴旋转一周所得的旋转曲面与平面 $z=8$ 所围成的闭区域。
答案
$\dfrac{1024\pi}{3}$
📖 前置知识梳理
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本题展示了三重积分的两种计算方法。方法1'先一后二'：先对 $z$ 积分，将立体投影到 $xOy$ 平面得到三角形区域，再在该区域上做二重积分。方法2'先二后一'：当平行截面面积容易计算且被积函数仅与一个变量有关时，先计算截面二重积分（即截面面积），再对剩余变量积分。本题中 $D_x$ 是直角边为 $(1-x)$ 的等腰直角三角形，面积为 $\frac{1}{2}(1-x)^2$，因此方法2更为简便。
📋 解题步骤
1
求旋转曲面方程
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曲线 $2z=y^2$ 绕 $z$ 轴旋转，得旋转曲面 $2z=x^2+y^2$，即 $z=\dfrac{x^2+y^2}{2}$。
2
求交线并确定区域
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与平面 $z=8$ 交于 $x^2+y^2=16$。柱坐标下 $\Omega:0\le\theta\le 2\pi$，$0\le\rho\le 4$，$\dfrac{\rho^2}{2}\le z\le 8$。
3
计算积分
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$\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^4\rho\,\mathrm{d}\rho\int_{\rho^2/2}^8\rho^2\,\mathrm{d}z=2\pi\int_0^4\rho^3\left(8-\dfrac{\rho^2}{2}\right)\,\mathrm{d}\rho$。
4
求值
▼
$=2\pi\left[2\rho^4-\dfrac{\rho^6}{12}\right]_0^4=2\pi\left(512-\dfrac{1024}{3}\right)=2\pi\cdot\dfrac{512}{3}=\dfrac{1024\pi}{3}$。
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