第31题
计算 $\iiint_{\Omega} z \, dV$，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=1$ 所围成的闭区域。
答案
$\dfrac{\pi}{4}$
📋 解题步骤
1
确定积分区域
▼
$\Omega$ 在 $z$ 方向介于锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=1$ 之间，对固定 $z$，截面 $D_z: x^2+y^2 \le z^2$。
2
截面法（先二后一）计算
▼
利用截面面积 $\iint_{D_z} dxdy = \pi z^2$，将三重积分化为 $\int_0^1 z \cdot \pi z^2 \, dz$。
3
求定积分
▼
$\pi \int_0^1 z^3 \, dz = \pi \left[ \frac{z^4}{4} \right]_0^1 = \frac{\pi}{4}$。
4
柱坐标验证（可选）
▼
柱坐标下 $I = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \rho \, d\rho \int_{\rho}^1 z \, dz = \frac{\pi}{4}$，结果一致。
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📸 点击此处焦点后，直接粘贴截图（Ctrl+V / Cmd+V）