第31题
计算 $\iiint_{\Omega} z \, dV$，其中 $\Omega$ 是由曲面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=1$ 所围成的闭区域。
答案
$\dfrac{\pi}{4}$
📖 前置知识梳理
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本题利用柱坐标计算三重积分。积分区域由上半球面 $z=\sqrt{2-x^2-y^2}$ 和旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ 围成。首先求两曲面的交线，得到 $z=1$ 和 $x^2+y^2=1$，这确定了投影区域是单位圆。在柱坐标下，旋转抛物面变为 $z=\rho^2$，球面变为 $z=\sqrt{2-\rho^2}$。体积元素为 $\rho\,d\rho\,d\theta\,dz$。先对 $z$ 积分，再对 $\rho$ 和 $\theta$ 积分。
📋 解题步骤
1
确定积分区域
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$\Omega$ 在 $z$ 方向介于锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=1$ 之间，对固定 $z$，截面 $D_z: x^2+y^2 \le z^2$。
2
截面法（先二后一）计算
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利用截面面积 $\iint_{D_z} dxdy = \pi z^2$，将三重积分化为 $\int_0^1 z \cdot \pi z^2 \, dz$。
3
求定积分
▼
$\pi \int_0^1 z^3 \, dz = \pi \left[ \frac{z^4}{4} \right]_0^1 = \frac{\pi}{4}$。
4
柱坐标验证（可选）
▼
柱坐标下 $I = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \rho \, d\rho \int_{\rho}^1 z \, dz = \frac{\pi}{4}$，结果一致。
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