第32题
计算 $\iiint_{\Omega} x^2 \, dV$，其中 $\Omega$ 为椭球面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$ $(a,b,c>0)$ 围成的闭区域。
答案
$\dfrac{4\pi}{15}a^3 bc$
📖 前置知识梳理
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本题综合考查旋转曲面方程和柱坐标计算三重积分。曲线 $y^2=2z$（$x=0$）是 $yOz$ 平面上的抛物线，绕 $z$ 轴旋转得到旋转抛物面。根据旋转曲面方程的求法，将 $y$ 替换为 $\pm\sqrt{x^2+y^2}$，得到 $x^2+y^2=2z$，即 $z=\frac{x^2+y^2}{2}$。该旋转抛物面与平面 $z=8$ 围成的立体，在 $xOy$ 平面上的投影是圆 $x^2+y^2 \leq 16$（半径为4）。在柱坐标下，$x^2+y^2=\rho^2$，体积元素 $dV=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz$，积分变得简洁。
📋 解题步骤
1
确定截面
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对固定 $x$，截面 $D_x$ 为椭圆 $\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \le 1-\frac{x^2}{a^2}$，其面积为 $\pi bc\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)$。
2
截面法积分
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原式 $= \int_{-a}^{a} x^2 \cdot \pi bc\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right) dx = 2\pi bc \int_0^a x^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right) dx$。
3
计算定积分
▼
$2\pi bc \left[ \frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5a^2} \right]_0^a = 2\pi bc \left( \frac{a^3}{3}-\frac{a^3}{5} \right) = \frac{4\pi}{15}a^3 bc$。
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