第33题
计算 $\iiint_{\Omega} xyz \, dV$，其中 $\Omega$ 为球体 $x^2+y^2+z^2 \le a^2$ $(a>0)$ 在第一卦限的部分。
答案
$\dfrac{a^6}{48}$
📋 解题步骤
1
球坐标描述区域
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在球坐标下 $\Omega: 0\le\theta\le\frac{\pi}{2},\ 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2},\ 0\le r\le a$，且 $dV=r^2\sin\varphi \,dr\,d\varphi\,d\theta$。
2
被积函数转换
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$xyz = r^3\sin^2\varphi\cos\varphi\sin\theta\cos\theta$，乘以体积元得 $r^5\sin^3\varphi\cos\varphi\sin\theta\cos\theta$。
3
分离变量积分
▼
三重积分分离为三个独立积分之积：$\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta \cdot \int_0^{\pi/2}\sin^3\varphi\cos\varphi\,d\varphi \cdot \int_0^a r^5\,dr$。
4
求值
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分别计算得 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{a^6}{6} = \frac{a^6}{48}$。
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