第33题
计算 $\iiint_{\Omega} xyz \, dV$，其中 $\Omega$ 为球体 $x^2+y^2+z^2 \le a^2$ $(a>0)$ 在第一卦限的部分。
答案
$\dfrac{a^6}{48}$
📖 前置知识梳理
▼
'先二后一'法（截面法）计算三重积分的要点：(1) 一般形式\(\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dV = \int_c^d dz \iint_{D_z} f(x,y,z) \, dxdy\)，其中\(D_z\)是用平行于\(xOy\)面的平面截\(\Omega\)得到的截面；(2) 若被积函数仅为\(z\)的函数，即\(f(z)\)，则\(\iiint_\Omega f(z) \, dV = \int_c^d f(z) \cdot A(z) \, dz\)，其中\(A(z)\)为\(D_z\)的面积。此方法特别适用于被积函数只与一个变量有关，且截面面积容易求得的情形。截面\(D_z\)上的二重积分也可以用极坐标计算。
📋 解题步骤
1
球坐标描述区域
▼
在球坐标下 $\Omega: 0\le\theta\le\frac{\pi}{2},\ 0\le\varphi\le\frac{\pi}{2},\ 0\le r\le a$，且 $dV=r^2\sin\varphi \,dr\,d\varphi\,d\theta$。
2
被积函数转换
▼
$xyz = r^3\sin^2\varphi\cos\varphi\sin\theta\cos\theta$，乘以体积元得 $r^5\sin^3\varphi\cos\varphi\sin\theta\cos\theta$。
3
分离变量积分
▼
三重积分分离为三个独立积分之积：$\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta \cdot \int_0^{\pi/2}\sin^3\varphi\cos\varphi\,d\varphi \cdot \int_0^a r^5\,dr$。
4
求值
▼
分别计算得 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{a^6}{6} = \frac{a^6}{48}$。
倍速：
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📎 添加截图（可选，支持多张）
💬 问答记录
加载中...