第34题
计算积分 $\displaystyle\int_{-1}^{1} dx \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} dy \int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{1} \sqrt{x^2+y^2+z^2} \, dz$。
答案
$\dfrac{\pi}{6}(2\sqrt{2}-1)$
📖 前置知识梳理
▼
'先二后一'法的关键在于选择合适的积分顺序。本题中，由于被积函数仅与\(x\)有关，选择先对\(y,z\)积分（即垂直于\(x\)轴的截面）最为简便。截面\(D_x\)是椭圆，其面积为\(\pi \times \text{长半轴} \times \text{短半轴}\)。注意利用对称性简化计算：被积函数\(x^2\)是偶函数，积分区间关于原点对称，可将积分区间变为\([0,a]\)并乘以2。
📋 解题步骤
1
识别积分区域
▼
$\Omega$ 由锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=1$ 围成，在球坐标下 $0\le\theta\le 2\pi,\ 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4},\ 0\le r\le\sec\varphi$。
2
转换为球坐标
▼
$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r$，$dV=r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta$，积分化为 $\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi\int_0^{1/\cos\varphi} r^3\,dr$。
3
计算径向积分
▼
$\int_0^{1/\cos\varphi} r^3\,dr = \frac{1}{4\cos^4\varphi}$，代入得 $\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi/4}\frac{\sin\varphi}{\cos^4\varphi}\,d\varphi$。
4
求值
▼
令 $u=\cos\varphi$，积分得 $\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{3}\left[(\sqrt{2})^3-1\right] = \frac{\pi}{6}(2\sqrt{2}-1)$。
倍速：
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📎 添加截图（可选，支持多张）
💬 问答记录
加载中...