第34题
计算积分 $\displaystyle\int_{-1}^{1} dx \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} dy \int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{1} \sqrt{x^2+y^2+z^2} \, dz$。
答案
$\dfrac{\pi}{6}(2\sqrt{2}-1)$
📋 解题步骤
1
识别积分区域
▼
$\Omega$ 由锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=1$ 围成，在球坐标下 $0\le\theta\le 2\pi,\ 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4},\ 0\le r\le\sec\varphi$。
2
转换为球坐标
▼
$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=r$，$dV=r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta$，积分化为 $\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi\int_0^{1/\cos\varphi} r^3\,dr$。
3
计算径向积分
▼
$\int_0^{1/\cos\varphi} r^3\,dr = \frac{1}{4\cos^4\varphi}$，代入得 $\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi/4}\frac{\sin\varphi}{\cos^4\varphi}\,d\varphi$。
4
求值
▼
令 $u=\cos\varphi$，积分得 $\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{3}\left[(\sqrt{2})^3-1\right] = \frac{\pi}{6}(2\sqrt{2}-1)$。
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