消去 $z$ 得投影域 $D_{xy}: x^2+y^2 \le 2x$，即圆 $(x-1)^2+y^2 \le 1$。

对 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，计算 $z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\ z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，得 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{2}$。

$A=\iint_{D_{xy}}\sqrt{2}\,dxdy=\sqrt{2}\cdot(\pi\cdot 1^2)=\sqrt{2}\pi$。