第35题
求圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $z^2=2x$ 所割下部分的面积。
答案
$\sqrt{2}\pi$
📖 前置知识梳理
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球面坐标系计算三重积分的要点：(1) 坐标变换公式：\(x = r\sin\varphi\cos\theta\)，\(y = r\sin\varphi\sin\theta\)，\(z = r\cos\varphi\)；(2) 体积元素\(dV = r^2\sin\varphi \, dr \, d\varphi \, d\theta\)，其中\(r^2\sin\varphi\)是雅可比行列式的绝对值，非常重要，不可遗漏；(3) 积分方法：先写\(\Omega\)的不等式（定角穿线），确定\(\theta\)、\(\varphi\)（极角）、\(r\)的范围，再化为三次积分。适合球坐标的情形：\(\Omega\)形状为球体、球体一部分、锥体等；被积函数含\(x^2 + y^2 + z^2\)。求\(r\)的范围时，将曲面方程\(G(r,\theta,\varphi) = 0\)解出\(r = r(\theta,\varphi)\)。
📋 解题步骤
1
投影区域
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消去 $z$ 得投影域 $D_{xy}: x^2+y^2 \le 2x$，即圆 $(x-1)^2+y^2 \le 1$。
2
面积元素
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对 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，计算 $z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\ z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，得 $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}=\sqrt{2}$。
3
曲面面积公式
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$A=\iint_{D_{xy}}\sqrt{2}\,dxdy=\sqrt{2}\cdot(\pi\cdot 1^2)=\sqrt{2}\pi$。
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