令 $\sqrt{x^2+y^2}=6-(x^2+y^2)$，设 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，则 $z=6-z^2$，解得 $z=2$，投影域 $D_{xy}: x^2+y^2\le 4$。

$V=\iint_{D_{xy}}\left[(6-x^2-y^2)-\sqrt{x^2+y^2}\right]dxdy$。

化为极坐标 $V=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2(6-\rho^2-\rho)\rho\,d\rho=2\pi\int_0^2(6\rho-\rho^3-\rho^2)\,d\rho$。

$2\pi\left[3\rho^2-\frac{\rho^4}{4}-\frac{\rho^3}{3}\right]_0^2=2\pi\cdot\frac{16}{3}=\frac{32\pi}{3}$。