第36题
计算曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与 $z=6-x^2-y^2$ 所围成区域的体积。
答案
$\dfrac{32\pi}{3}$
📖 前置知识梳理
▼
本题综合考查了两个要点：(1) 根据三次积分反找积分区域——从积分的上下限可以确定投影域\(D\)和上下曲面；(2) 利用球坐标计算三重积分——关键是正确确定\(r\)的上限。对于平面\(z = 1\)，在球坐标下应化为\(r\cos\varphi = 1\)，即\(r = \frac{1}{\cos\varphi}\)。圆锥面\(z = \sqrt{x^2 + y^2}\)对应\(\tan\varphi = 1\)，即\(\varphi = \frac{\pi}{4}\)。计算\(\varphi\)积分时，注意\(\sin\varphi \, d\varphi = -d(\cos\varphi)\)的换元技巧。
📋 解题步骤
1
求交线与投影
▼
令 $\sqrt{x^2+y^2}=6-(x^2+y^2)$，设 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，则 $z=6-z^2$，解得 $z=2$，投影域 $D_{xy}: x^2+y^2\le 4$。
2
建立体积积分
▼
$V=\iint_{D_{xy}}\left[(6-x^2-y^2)-\sqrt{x^2+y^2}\right]dxdy$。
3
极坐标计算
▼
化为极坐标 $V=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2(6-\rho^2-\rho)\rho\,d\rho=2\pi\int_0^2(6\rho-\rho^3-\rho^2)\,d\rho$。
4
求值
▼
$2\pi\left[3\rho^2-\frac{\rho^4}{4}-\frac{\rho^3}{3}\right]_0^2=2\pi\cdot\frac{16}{3}=\frac{32\pi}{3}$。
倍速：
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📎 添加截图（可选，支持多张）
💬 问答记录
加载中...