第37题
计算 $\iiint_{\Omega}(ax+by+cz^2)\,dV$，其中 $a,b,c$ 为常数，$\Omega=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le 2\}$。
答案
$\dfrac{16\sqrt{2}\,c\pi}{15}$
📖 前置知识梳理
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求曲面面积的步骤：(1) 求曲面在坐标面上的投影区域\(D_{xy}\)；(2) 计算\(\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\)；(3) 代入面积公式计算二重积分。其他情形：若曲面表示为\(x = x(y,z)\)，则\(A = \iint_{D_{yz}} \sqrt{1 + x_y^2 + x_z^2} \, dydz\)；若表示为\(y = y(z,x)\)，则\(A = \iint_{D_{zx}} \sqrt{1 + y_z^2 + y_x^2} \, dzdx\)。求投影区域时，联立两个曲面方程消去\(z\)即得投影曲线的方程。
📋 解题步骤
1
利用对称性化简
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$\iiint_\Omega ax\,dV=0$，$\iiint_\Omega by\,dV=0$（奇函数对称），原式化为 $c\iiint_\Omega z^2\,dV$。
2
轮换对称性
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由轮换对称 $\iiint_\Omega z^2\,dV=\frac13\iiint_\Omega(x^2+y^2+z^2)\,dV$。
3
球坐标积分
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$\frac c3\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi\sin\varphi\,d\varphi\int_0^{\sqrt2}r^2\cdot r^2\,dr=\frac c3\cdot2\pi\cdot2\cdot\frac{(\sqrt2)^5}{5}$。
4
求值
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$\frac{4\pi c}{3}\cdot\frac{4\sqrt2}{5}=\frac{16\sqrt2\,c\pi}{15}$。
倍速：
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