第38题
已知 $F(t)=\iiint_{x^2+y^2+z^2\le t^2}f(x^2+y^2+z^2)\,dV$，其中 $f$ 为连续函数且 $f(0)=6$，求极限 $\displaystyle\lim_{t\to0^+}\frac{F(t)}{t^3}$。
答案
$8\pi$
📋 解题步骤
1
球坐标化简F(t)
▼
$F(t)=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi\sin\varphi\,d\varphi\int_0^t f(r^2)r^2\,dr=4\pi\int_0^t f(r^2)r^2\,dr$。
2
洛必达法则
▼
极限为 $\frac00$ 型，$\lim_{t\to0^+}\frac{4\pi\int_0^t f(r^2)r^2\,dr}{t^3}=\lim_{t\to0^+}\frac{4\pi f(t^2)t^2}{3t^2}$。
3
代入连续性条件
▼
$=\frac{4\pi}{3}f(0)=\frac{4\pi}{3}\cdot6=8\pi$。
✍️ 提问
卡在哪一步？点击上方步骤卡片展开查看，或直接描述你的疑问。
已选择：卡在第 - 步 —
📸 点击此处焦点后，直接粘贴截图（Ctrl+V / Cmd+V）