第38题
已知 $F(t)=\iiint_{x^2+y^2+z^2\le t^2}f(x^2+y^2+z^2)\,dV$，其中 $f$ 为连续函数且 $f(0)=6$，求极限 $\displaystyle\lim_{t\to0^+}\frac{F(t)}{t^3}$。
答案
$8\pi$
📖 前置知识梳理
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本题核心知识点是**利用二重积分求立体体积**。要点总结：(1) 若立体上下边界为两个曲面 $z=z_2(x,y)$ 和 $z=z_1(x,y)$，则体积公式为 $V = \iint_D [z_2 - z_1] d\sigma$。这比三重积分 $V = \iiint_\Omega dv$ 更直接。(2) **求交线投影**是关键步骤：联立两曲面方程消去 $z$（或利用 $x^2+y^2=z^2$ 的关系），得到交线方程，再令 $z=0$ 即得投影曲线。(3) **极坐标变换**适用于投影区域为圆域的情况，可大幅简化计算。注意 $\sqrt{x^2+y^2} = \rho$，$dxdy = \rho \, d\rho d\theta$ 中的 $\rho$ 不要遗漏。
📋 解题步骤
1
球坐标化简F(t)
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$F(t)=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi\sin\varphi\,d\varphi\int_0^t f(r^2)r^2\,dr=4\pi\int_0^t f(r^2)r^2\,dr$。
2
洛必达法则
▼
极限为 $\frac00$ 型，$\lim_{t\to0^+}\frac{4\pi\int_0^t f(r^2)r^2\,dr}{t^3}=\lim_{t\to0^+}\frac{4\pi f(t^2)t^2}{3t^2}$。
3
代入连续性条件
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$=\frac{4\pi}{3}f(0)=\frac{4\pi}{3}\cdot6=8\pi$。
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