第39题
计算对弧长的曲线积分 $\int_L (x+y)ds$，其中 $L$ 为连接 $(1,0)$ 及 $(0,1)$ 的直线段。
答案
$\sqrt{2}$
📋 解题步骤
1
确定直线方程
▼
连接 $(1,0)$ 与 $(0,1)$ 的直线段方程为 $y = 1 - x$（$0 \le x \le 1$）。
2
计算弧长元素
▼
$y' = -1$，故 $ds = \sqrt{1 + y'^2} \, dx = \sqrt{2} \, dx$。
3
化简被积函数
▼
在直线 $L$ 上，$x + y = x + (1 - x) = 1$。
4
计算积分
▼
$\int_L (x+y)ds = \int_0^1 1 \cdot \sqrt{2} \, dx = \sqrt{2}$。
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