第40题
计算 $\oint_L (x+y)e^{x^2+y^2}ds$，其中 $L$ 为圆弧 $y=\sqrt{a^2-x^2}$，$y=x$ 与 $y=-x$ 所围成扇形区域的边界。
答案
$\sqrt{2}a^2 e^{a^2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(e^{a^2}-1)$
📋 解题步骤
1
分解积分路径
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将闭曲线 $L$ 分为三段：$L_1$（线段 $y=x$）、$L_2$（圆弧 $y=\sqrt{a^2-x^2}$）、$L_3$（线段 $y=-x$）。
2
计算 $L_1$ 上的积分
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$L_1$: $y=x$，$0 \le x \le \frac{\sqrt{2}}{2}a$。此时 $x+y=2x$，$x^2+y^2=2x^2$，$ds=\sqrt{2}dx$。
$\int_{L_1} (x+y)e^{x^2+y^2}ds = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}a} 2xe^{2x^2} \cdot \sqrt{2} \, dx = \frac{\sqrt{2}}{2}(e^{a^2}-1)$。
$\int_{L_1} (x+y)e^{x^2+y^2}ds = \int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}a} 2xe^{2x^2} \cdot \sqrt{2} \, dx = \frac{\sqrt{2}}{2}(e^{a^2}-1)$。
3
计算 $L_2$ 上的积分
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$L_2$: 参数方程 $x=a\cos t$，$y=a\sin t$（$\frac{\pi}{4} \le t \le \frac{3\pi}{4}$）。此时 $x^2+y^2=a^2$，$ds=a\,dt$。
$\int_{L_2} (x+y)e^{x^2+y^2}ds = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} a(\cos t+\sin t)e^{a^2} \cdot a \, dt = \sqrt{2}a^2 e^{a^2}$。
$\int_{L_2} (x+y)e^{x^2+y^2}ds = \int_{\pi/4}^{3\pi/4} a(\cos t+\sin t)e^{a^2} \cdot a \, dt = \sqrt{2}a^2 e^{a^2}$。
4
计算 $L_3$ 上的积分
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$L_3$: $y=-x$，$-\frac{\sqrt{2}}{2}a \le x \le 0$。此时 $x+y=0$，被积函数恒为 $0$。
$\int_{L_3} (x+y)e^{x^2+y^2}ds = 0$。
$\int_{L_3} (x+y)e^{x^2+y^2}ds = 0$。
5
三段积分求和
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$\oint_L (x+y)e^{x^2+y^2}ds = \sqrt{2}a^2 e^{a^2} + \frac{\sqrt{2}}{2}(e^{a^2}-1) + 0$。
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