第41题
计算 $\oint_L xy\,dx$，其中 $L$ 是圆周 $(x-a)^2+y^2=a^2\ (a>0)$ 及 $x$ 轴所围成的在第一象限内的区域的边界（按逆时针方向）。
答案
$-\dfrac{\pi a^3}{2}$
📋 解题步骤
1
分解积分路径
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$L=L_1+L_2$，其中 $L_1$ 为上半圆弧，$L_2$ 为 $x$ 轴线段从 $(0,0)$ 到 $(2a,0)$。
2
参数化计算L1
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$L_1: x=a+a\cos t,\ y=a\sin t,\ t:0\to\pi$，$dx=-a\sin t\,dt$，代入得 $I_1=-\frac{\pi a^3}{2}$。
3
计算L2
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$L_2$ 上 $y=0$，故 $I_2=\int_{L_2}xy\,dx=0$。
4
求和
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$\oint_L xy\,dx=I_1+I_2=-\frac{\pi a^3}{2}$。
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