第42题
计算曲线积分 $I=\int_{(1,0)}^{(2,1)}(2xy-y^3+3)\,dx+(x^2-3xy^2)\,dy$。
答案
$5$
📖 前置知识梳理
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格林公式的应用：设 $D$ 是一个单连通区域，$P(x,y), Q(x,y)$ 在 $D$ 内具有一阶连续偏导数，则以下四个条件互相等价：① $\oint_C P\,dx+Q\,dy = 0$；② $\int_L P\,dx+Q\,dy$ 与路径无关；③ $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$；④ $du = P\,dx+Q\,dy$（即存在原函数）。当曲线积分与路径无关时，可以选择最便于计算的折线路径来求积分，大大简化计算。
📋 解题步骤
1
验证积分与路径无关
▼
$P=2xy-y^3+3,\ Q=x^2-3xy^2$，计算得 $\frac{\partial P}{\partial y}=2x-3y^2=\frac{\partial Q}{\partial x}$。
2
选取折线路径
▼
取 $A(1,0)\to C(2,0)\to B(2,1)$，分段计算。
3
分段积分
▼
沿 $AC$（$y=0$）：$\int_1^2 3\,dx=3$；沿 $CB$（$x=2$）：$\int_0^1(4-6y^2)\,dy=2$。
4
求和
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$I=3+2=5$。
倍速：
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