第43题
设曲线积分 $\int_L 2xy\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y$ 与路径无关，且对任意 $t$ 恒有 $\int_{(0,0)}^{(t,1)} 2xy\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y=\int_{(0,0)}^{(1,t)} 2xy\,\mathrm{d}x+Q(x,y)\,\mathrm{d}y$，其中 $Q(x,y)$ 具有连续偏导数，求 $Q(x,y)$。
答案
$Q(x,y)=x^2+2y-1$
📋 解题步骤
1
利用与路径无关的条件
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由积分与路径无关，得 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}=2x$，积分得 $Q(x,y)=x^2+H(y)$，其中 $H(y)$ 为待定函数。
2
计算左边路径积分
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取折线路径 $(0,0)\to(t,0)\to(t,1)$，计算得 $\int_{(0,0)}^{(t,1)} = t^2+\int_0^1 H(y)\,\mathrm{d}y$。
3
计算右边路径积分
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取折线路径 $(0,0)\to(1,0)\to(1,t)$，计算得 $\int_{(0,0)}^{(1,t)} = t+\int_0^t H(y)\,\mathrm{d}y$。
4
建立等式并求导
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由等式对任意 $t$ 成立，两边对 $t$ 求导得 $2t=1+H(t)$，即 $H(t)=2t-1$。
5
得到结果
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代入得 $Q(x,y)=x^2+2y-1$。
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