第44题
已知曲线积分 $\int_L (e^x\sin y-2y)\,\mathrm{d}x+(e^x\cos y+mx)\,\mathrm{d}y$ 与积分路径无关，(1) 计算 $m$ 的值；(2) 若 $L$ 为由点 $A(2a,0)$ 到点 $O(0,0)$ 的上半周 $(x-a)^2+y^2=a^2\,(y\geq 0)$，计算曲线积分 $I=\int_L (e^x\sin y-2y)\,\mathrm{d}x+(e^x\cos y-8mx)\,\mathrm{d}y$。
答案
(1) $m=-2$；(2) $I=9\pi a^2$
📖 前置知识梳理
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格林公式：设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，若函数 $P(x,y)$ 和 $Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则 $\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) d\sigma = \oint_L P\,dx+Q\,dy$，其中 $L$ 是 $D$ 的取正向的边界曲线。对于非闭合曲线的第二类曲线积分，常用补线法（添加辅助线段使其成为闭合曲线），然后应用格林公式，再减去辅助线段上的积分。注意补线的方向要与原曲线构成正向边界。
📋 解题步骤
1
求参数 $m$
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由积分与路径无关的充要条件 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$，即 $e^x\cos y-2=e^x\cos y+m$，得 $m=-2$。
2
补线构成闭曲线
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补线段 $OA: y=0,\ x:0\to 2a$，将 $L$ 与 $OA$ 组成闭合曲线，记围成区域为 $D$。
3
用格林公式计算闭曲线积分
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当 $m=-2$ 时，$Q=e^x\cos y+16x$，则 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=18$。由格林公式 $\oint_{L+OA}=\iint_D 18\,\mathrm{d}\sigma=18\cdot\frac{1}{2}\pi a^2=9\pi a^2$。
4
计算线段 $OA$ 上的积分
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在线段 $OA$ 上 $y=0$，代入得被积式为 $0$，故 $\int_{OA}=0$。
5
得到结果
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$I=\oint_{L+OA}-\int_{OA}=9\pi a^2-0=9\pi a^2$。
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