第45题
已知平面区域 $D=\{(x,y)\mid 0\leq x\leq \pi,\ 0\leq y\leq \pi\}$，$L$ 为 $D$ 的正向边界，试证：(1) $\oint_L xe^{\sin y}\,\mathrm{d}y-ye^{-\sin x}\,\mathrm{d}x=\oint_L xe^{-\sin y}\,\mathrm{d}y-ye^{\sin x}\,\mathrm{d}x$；(2) $\oint_L xe^{\sin y}\,\mathrm{d}y-ye^{-\sin x}\,\mathrm{d}x\geq 2\pi^2$。
答案
(1) 等式成立；(2) 不等式成立
📖 前置知识梳理
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格林公式将曲线积分转化为二重积分。二重积分的轮换对称性：若积分区域 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称，则 $\iint_D f(x,y)\,dxdy = \iint_D f(y,x)\,dxdy$。本题证明等式的关键是利用轮换对称性将两边的被积函数统一。证明不等式时利用 $e^t + e^{-t} \ge 2 + t^2$（由泰勒展开 $e^t + e^{-t} = 2 + t^2 + \frac{t^4}{12} + \cdots \ge 2 + t^2$），然后结合 $\sin^2 x$ 的积分值。
📋 解题步骤
1
对左边用格林公式
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$\oint_L xe^{\sin y}\,\mathrm{d}y-ye^{-\sin x}\,\mathrm{d}x=\iint_D \left(e^{\sin y}+e^{-\sin x}\right)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$。
2
对右边用格林公式
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$\oint_L xe^{-\sin y}\,\mathrm{d}y-ye^{\sin x}\,\mathrm{d}x=\iint_D \left(e^{-\sin y}+e^{\sin x}\right)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$。
3
利用轮换对称性证明等式
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区域 $D$ 关于 $y=x$ 对称，故 $\iint_D e^{\sin y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\iint_D e^{\sin x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$，同理 $\iint_D e^{-\sin x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\iint_D e^{-\sin y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$。因此两边相等，(1) 得证。
4
证明不等式
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由 (1) 知左边 $=\frac{1}{2}\iint_D \left(e^{\sin y}+e^{-\sin y}+e^{\sin x}+e^{-\sin x}\right)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$。利用 $e^t+e^{-t}\geq 2$，得被积函数 $\geq 4$，故积分 $\geq \frac{1}{2}\cdot 4\cdot \pi^2=2\pi^2$。
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