第46题
计算 $\oint_L \dfrac{x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x}{4x^2+y^2}$，其中 $L$ 是以点 $(1,0)$ 为中心，$R\,(R>1)$ 为半径的圆周，取逆时针方向。
答案
$\pi$
📖 前置知识梳理
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格林公式要求 $P,Q$ 在闭区域 $D$ 上具有一阶连续偏导数。当被积函数在区域内某点（奇点）不满足该条件时，采用挖洞法：在奇点周围作一小闭合曲线（通常取与被积函数分母形状相同的曲线，如本题取椭圆），将奇点挖去，在剩下的复连通区域上应用格林公式。由于挖去的小曲线上的积分往往容易计算（分母变为常数），从而得到原积分值。注意小曲线的方向要与外边界构成区域的正向边界。
📋 解题步骤
1
验证被积表达式
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设 $P=\dfrac{-y}{4x^2+y^2}$，$Q=\dfrac{x}{4x^2+y^2}$，计算得 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$（当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时）。
2
挖去奇点
▼
因 $R>1$，原点 $(0,0)$ 在 $L$ 内部。作小椭圆 $L_\varepsilon: 4x^2+y^2=\varepsilon^2$（取逆时针），使 $L_\varepsilon$ 完全在 $L$ 内部。
3
在复连通区域上用格林公式
▼
在 $L$ 与 $L_\varepsilon$ 围成的复连通区域上，$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$，故 $\oint_L=\oint_{L_\varepsilon}$。
4
计算椭圆上的积分
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在 $L_\varepsilon$ 上 $4x^2+y^2=\varepsilon^2$，故 $\oint_{L_\varepsilon} \dfrac{x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x}{4x^2+y^2}=\dfrac{1}{\varepsilon^2}\oint_{L_\varepsilon} x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x=\dfrac{2}{\varepsilon^2}\cdot \dfrac{\pi\varepsilon^2}{2}=\pi$。
5
得到结果
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因此原积分 $=\pi$。
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