设 $P=\dfrac{-y}{4x^2+y^2}$，$Q=\dfrac{x}{4x^2+y^2}$，计算得 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$（当 $(x,y) eq(0,0)$ 时）。

因 $R>1$，原点 $(0,0)$ 在 $L$ 内部。作小椭圆 $L_\varepsilon: 4x^2+y^2=\varepsilon^2$（取逆时针），使 $L_\varepsilon$ 完全在 $L$ 内部。

在 $L$ 与 $L_\varepsilon$ 围成的复连通区域上，$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0$，故 $\oint_L=\oint_{L_\varepsilon}$。

在 $L_\varepsilon$ 上 $4x^2+y^2=\varepsilon^2$，故 $\oint_{L_\varepsilon} \dfrac{x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x}{4x^2+y^2}=\dfrac{1}{\varepsilon^2}\oint_{L_\varepsilon} x\,\mathrm{d}y-y\,\mathrm{d}x=\dfrac{2}{\varepsilon^2}\cdot \dfrac{\pi\varepsilon^2}{2}=\pi$。

因此原积分 $=\pi$。