将 $\Sigma$ 分为两部分：$\Sigma_1$ 为平面 $z=1$ 上 $x^2+y^2\leq 1$ 的部分；$\Sigma_2$ 为锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 上 $0\leq z\leq 1$ 的部分。

在 $\Sigma_1$ 上 $\mathrm{d}S=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$，投影区域 $D: x^2+y^2\leq 1$。$\iint_{\Sigma_1}(x^2+y^2)\,\mathrm{d}S=\iint_D(x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1 r^3\,\mathrm{d}r=\dfrac{\pi}{2}$。

在 $\Sigma_2$ 上 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，故 $\mathrm{d}S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\sqrt{2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$。$\iint_{\Sigma_2}(x^2+y^2)\,\mathrm{d}S=\sqrt{2}\iint_D(x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\dfrac{\sqrt{2}\pi}{2}$。

$\displaystyle\iint_\Sigma=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\sqrt{2}\pi}{2}=\dfrac{(1+\sqrt{2})\pi}{2}$。