第47题
计算 $\displaystyle\iint_\Sigma (x^2+y^2)\,\mathrm{d}S$，其中 $\Sigma$ 是：锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 及平面 $z=1$ 所围成的区域的整个边界曲面。
答案
$\dfrac{(1+\sqrt{2})\pi}{2}$
📖 前置知识梳理
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本题考查对面积的曲面积分（第一类曲面积分）的计算方法。
要点1：对面积的曲面积分计算公式为 $\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\,dS = \iint_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy$。
要点2：对称性问题——若 $\Sigma$ 关于 $yOz$ 平面对称，$\Sigma_1$ 为 $x\geq 0$ 的部分，则当 $f$ 关于 $x$ 为奇函数时积分为0，为偶函数时积分为 $2\iint_{\Sigma_1}f\,dS$；关于其他坐标平面对称有类似结论。本题中曲面由平面和锥面两部分组成，需分别计算再相加。
要点1：对面积的曲面积分计算公式为 $\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\,dS = \iint_{D_{xy}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,dxdy$。
要点2：对称性问题——若 $\Sigma$ 关于 $yOz$ 平面对称，$\Sigma_1$ 为 $x\geq 0$ 的部分，则当 $f$ 关于 $x$ 为奇函数时积分为0，为偶函数时积分为 $2\iint_{\Sigma_1}f\,dS$；关于其他坐标平面对称有类似结论。本题中曲面由平面和锥面两部分组成，需分别计算再相加。
📋 解题步骤
1
分解曲面
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将 $\Sigma$ 分为两部分：$\Sigma_1$ 为平面 $z=1$ 上 $x^2+y^2\leq 1$ 的部分；$\Sigma_2$ 为锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 上 $0\leq z\leq 1$ 的部分。
2
计算 $\Sigma_1$ 上的积分
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在 $\Sigma_1$ 上 $\mathrm{d}S=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$，投影区域 $D: x^2+y^2\leq 1$。$\iint_{\Sigma_1}(x^2+y^2)\,\mathrm{d}S=\iint_D(x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_0^1 r^3\,\mathrm{d}r=\dfrac{\pi}{2}$。
3
计算 $\Sigma_2$ 上的积分
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在 $\Sigma_2$ 上 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$，故 $\mathrm{d}S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\sqrt{2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$。$\iint_{\Sigma_2}(x^2+y^2)\,\mathrm{d}S=\sqrt{2}\iint_D(x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\dfrac{\sqrt{2}\pi}{2}$。
4
求和
▼
$\displaystyle\iint_\Sigma=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\sqrt{2}\pi}{2}=\dfrac{(1+\sqrt{2})\pi}{2}$。
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