第48题
计算 $I = \oiint_{\Sigma} x^3 \mathop{}\!{d}y\mathop{}\!{d}z + y^3 \mathop{}\!{d}z\mathop{}\!{d}x + z^3 \mathop{}\!{d}x\mathop{}\!{d}y$，其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外侧。
答案
$\dfrac{12\pi}{5}a^5$
📖 前置知识梳理
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本题考查高斯公式（散度定理）的应用。高斯公式：设空间闭区域 $\Omega$ 是由分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 所围成，若 $P,Q,R$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数，则 $\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV = \oiint_{\Sigma}P\,dydz+Q\,dzdx+R\,dxdy$。注意 $\Sigma$ 必须是 $\Omega$ 的整个边界曲面的外侧。当被积函数含有 $x^2+y^2+z^2$ 且积分区域为球体时，优先使用球坐标计算三重积分。
📋 解题步骤
1
确定被积函数偏导数
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设 $P=x^3$, $Q=y^3$, $R=z^3$，则 $\dfrac{\partial P}{\partial x}=3x^2$, $\dfrac{\partial Q}{\partial y}=3y^2$, $\dfrac{\partial R}{\partial z}=3z^2$。
2
应用高斯公式
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由高斯公式，$I = 3\iiint_{\Omega} (x^2+y^2+z^2) \mathop{}\!{d}V$，其中 $\Omega$ 为 $\Sigma$ 所围立体。
3
球坐标计算三重积分
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采用球坐标：$$I = 3\int_0^{2\pi} \mathop{}\!{d}\theta \int_0^{\pi} \sin\varphi \mathop{}\!{d}\varphi \int_0^a r^2 \cdot r^2 \mathop{}\!{d}r = 3 \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{a^5}{5} = \frac{12\pi}{5}a^5$$其中 $\mathop{}\!{d}V = r^2\sin\varphi \mathop{}\!{d}r\mathop{}\!{d}\varphi\mathop{}\!{d}\theta$，且 $x^2+y^2+z^2=r^2$。
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