补平面 $\Sigma_1: z=0$, $x^2+\dfrac{y^2}{4} \le 1$，取下侧。则 $I = \oiint_{\Sigma+\Sigma_1} - \iint_{\Sigma_1} = I_1 - I_2$。

设 $\Omega$ 为 $\Sigma$ 与 $\Sigma_1$ 所围区域，则$$I_1 = \iiint_{\Omega} (z+2z+0) \mathop{}\!{d}V = 3\iiint_{\Omega} z \mathop{}\!{d}V = 3\int_0^1 z \mathop{}\!{d}z \iint_{D_z} \mathop{}\!{d}x\mathop{}\!{d}y$$其中 $D_z$ 为椭圆 $x^2+\dfrac{y^2}{4} \le 1-z$，面积 $S(D_z)=\pi\cdot\sqrt{1-z}\cdot 2\sqrt{1-z}=2\pi(1-z)$。

$$I_1 = 3\int_0^1 z \cdot 2\pi(1-z) \mathop{}\!{d}z = 6\pi\int_0^1 (z-z^2) \mathop{}\!{d}z = 6\pi\left[\frac{z^2}{2}-\frac{z^3}{3}\right]_0^1 = 6\pi\cdot\frac{1}{6} = \pi$$其中使用了截面法计算三重积分。

在 $\Sigma_1$ 上 $z=0$，前两项为0，只剩第三项：$$I_2 = \iint_{\Sigma_1} 3xy \mathop{}\!{d}x\mathop{}\!{d}y = -\iint_{D_{xy}} 3xy \mathop{}\!{d}x\mathop{}\!{d}y = 0$$因为积分区域 $D_{xy}$ 关于 $x$ 轴、$y$ 轴均对称，而被积函数 $3xy$ 为关于 $x$（或 $y$）的奇函数。故 $I = I_1 - I_2 = \pi - 0 = \pi$。