第49题
计算曲面积分 $I = \iint_{\Sigma} xz \mathop{}\!{d}y\mathop{}\!{d}z + 2yz \mathop{}\!{d}z\mathop{}\!{d}x + 3xy \mathop{}\!{d}x\mathop{}\!{d}y$，其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=1-x^2-\dfrac{y^2}{4}$ ($0 \le z \le 1$) 的上侧。
答案
$\pi$
📖 前置知识梳理
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本题是'补面法'用高斯公式的典型例题。当曲面不封闭时，可通过补一个平面使其封闭，再用高斯公式，最后减去补面上的积分。
要点1：高斯公式要求闭曲面的外侧。
要点2：对坐标的曲面积分计算方法——$\iint_{\Sigma}R(x,y,z)\,dxdy = \pm\iint_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]\,dxdy$，其中 $\cos\gamma>0$ 时取'+'，$\cos\gamma<0$ 时取'-'。本题中补面取下侧，故 $dxdy$ 前取负号。
要点1：高斯公式要求闭曲面的外侧。
要点2：对坐标的曲面积分计算方法——$\iint_{\Sigma}R(x,y,z)\,dxdy = \pm\iint_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]\,dxdy$，其中 $\cos\gamma>0$ 时取'+'，$\cos\gamma<0$ 时取'-'。本题中补面取下侧，故 $dxdy$ 前取负号。
📋 解题步骤
1
补面构成封闭曲面
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补平面 $\Sigma_1: z=0$, $x^2+\dfrac{y^2}{4} \le 1$，取下侧。则 $I = \oiint_{\Sigma+\Sigma_1} - \iint_{\Sigma_1} = I_1 - I_2$。
2
高斯公式计算 $I_1$
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设 $\Omega$ 为 $\Sigma$ 与 $\Sigma_1$ 所围区域，则$$I_1 = \iiint_{\Omega} (z+2z+0) \mathop{}\!{d}V = 3\iiint_{\Omega} z \mathop{}\!{d}V = 3\int_0^1 z \mathop{}\!{d}z \iint_{D_z} \mathop{}\!{d}x\mathop{}\!{d}y$$其中 $D_z$ 为椭圆 $x^2+\dfrac{y^2}{4} \le 1-z$，面积 $S(D_z)=\pi\cdot\sqrt{1-z}\cdot 2\sqrt{1-z}=2\pi(1-z)$。
3
求出 $I_1$ 的值
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$$I_1 = 3\int_0^1 z \cdot 2\pi(1-z) \mathop{}\!{d}z = 6\pi\int_0^1 (z-z^2) \mathop{}\!{d}z = 6\pi\left[\frac{z^2}{2}-\frac{z^3}{3}\right]_0^1 = 6\pi\cdot\frac{1}{6} = \pi$$其中使用了截面法计算三重积分。
4
计算 $I_2$ 并得结果
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在 $\Sigma_1$ 上 $z=0$，前两项为0，只剩第三项：$$I_2 = \iint_{\Sigma_1} 3xy \mathop{}\!{d}x\mathop{}\!{d}y = -\iint_{D_{xy}} 3xy \mathop{}\!{d}x\mathop{}\!{d}y = 0$$因为积分区域 $D_{xy}$ 关于 $x$ 轴、$y$ 轴均对称，而被积函数 $3xy$ 为关于 $x$（或 $y$）的奇函数。故 $I = I_1 - I_2 = \pi - 0 = \pi$。
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