第50题
计算 $\displaystyle\iint_{\Sigma} \frac{ax \mathop{}\!{d}y\mathop{}\!{d}z + (z+a)^2 \mathop{}\!{d}x\mathop{}\!{d}y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$，其中 $\Sigma$ 为下半球面 $z = -\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ ($a>0$) 的上侧。
答案
$-\dfrac{\pi a^3}{2}$
📖 前置知识梳理
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本题是补面法结合高斯公式的综合题，难点在于方向判断。注意：$\Sigma$ 取'上侧'对于下半球面而言是指向球心方向，即封闭曲面的内侧，因此用高斯公式时需加负号。重要提醒：$\iint_{\Sigma} = -\iint_{\Sigma^-}$，若曲面方向取反，积分值变号。计算 $I_2$ 时，补面 $\Sigma_1$ 取下侧，$dxdy$ 前取负号。
📋 解题步骤
1
利用曲面方程化简
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因为 $\Sigma$ 上 $x^2+y^2+z^2=a^2$，故 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=a$。于是$$I = \frac{1}{a}\iint_{\Sigma} ax \mathop{}\!{d}y\mathop{}\!{d}z + (z+a)^2 \mathop{}\!{d}x\mathop{}\!{d}y$$记 $\mathbf{F}=(ax,0,(z+a)^2)$。
2
补面构成封闭曲面并注意侧
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补平面 $\Sigma_1: z=0$, $x^2+y^2 \le a^2$，取下侧。注意 $\Sigma$ 上侧指向球心（内侧），$\Sigma_1$ 下侧也指向下半球体内部，故 $\Sigma+\Sigma_1$ 构成封闭曲面的内侧。$$I = \frac{1}{a}\oiint_{\Sigma+\Sigma_1} - \frac{1}{a}\iint_{\Sigma_1} = I_1 - I_2$$对于内侧曲面，高斯公式需加负号。
3
高斯公式计算 $I_1$
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设 $\Omega$ 为下半球体，$\text{div}\mathbf{F} = \dfrac{\partial(ax)}{\partial x} + \dfrac{\partial(z+a)^2}{\partial z} = a + 2(z+a) = 3a+2z$。则$$I_1 = -\frac{1}{a}\iiint_{\Omega} (3a+2z) \mathop{}\!{d}V = -3\iiint_{\Omega} \mathop{}\!{d}V - \frac{2}{a}\iiint_{\Omega} z \mathop{}\!{d}V$$第一项：$-3\cdot\dfrac{2\pi a^3}{3} = -2\pi a^3$（半球体体积）。第二项采用截面法：$$-\frac{2}{a}\int_{-a}^0 z \cdot \pi(a^2-z^2) \mathop{}\!{d}z = -\frac{2\pi}{a}\left[\frac{a^2z^2}{2}-\frac{z^4}{4}\right]_{-a}^0 = \frac{\pi a^3}{2}$$故 $I_1 = -2\pi a^3 + \dfrac{\pi a^3}{2} = -\dfrac{3\pi a^3}{2}$。
4
计算 $I_2$ 并得结果
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在 $\Sigma_1$ 上 $z=0$，前两项（沿 $y$ 或 $z$ 方向的投影面积为0）为0，第三项：$$I_2 = \frac{1}{a}\iint_{\Sigma_1} a^2 \mathop{}\!{d}x\mathop{}\!{d}y = \frac{1}{a}\left(-\iint_{x^2+y^2\le a^2} a^2 \mathop{}\!{d}x\mathop{}\!{d}y\right) = -\pi a^3$$其中下侧取负号。于是$$I = I_1 - I_2 = -\frac{3\pi a^3}{2} - (-\pi a^3) = -\frac{\pi a^3}{2}$$
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