第51题
判定级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin na}{n^2}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 的收敛性。
答案
发散
📖 前置知识梳理
▼
本题考查级数敛散性的判断。
要点1：比较审敛法——设 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 都是正项级数，且 $u_n\leq v_n$，若 $\sum v_n$ 收敛则 $\sum u_n$ 收敛；反之若 $\sum u_n$ 发散则 $\sum v_n$ 发散。
要点2：比较审敛法的极限形式——若 $\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l$（$0\leq l<+\infty$），且 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛。
要点3：两个重要的常数项级数——等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty}aq^{n-1}$ 当 $|q|<1$ 时收敛，$|q|\geq 1$ 时发散；$p$-级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛，$p\leq 1$ 时发散。
要点4：绝对收敛与条件收敛——若 $\sum|u_n|$ 收敛，则称 $\sum u_n$ 绝对收敛；若 $\sum u_n$ 收敛而 $\sum|u_n|$ 发散，则称 $\sum u_n$ 条件收敛。定理：若 $\sum u_n$ 绝对收敛，则 $\sum u_n$ 必定收敛。注意：讨论一般级数的收敛性，可先从 $\sum|u_n|$ 开始；若 $\sum|u_n|$ 发散不能推出 $\sum u_n$ 发散，但若通过比值审敛法或根值审敛法判定 $\sum|u_n|$ 发散，则 $\sum u_n$ 必定发散。
要点1：比较审敛法——设 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 都是正项级数，且 $u_n\leq v_n$，若 $\sum v_n$ 收敛则 $\sum u_n$ 收敛；反之若 $\sum u_n$ 发散则 $\sum v_n$ 发散。
要点2：比较审敛法的极限形式——若 $\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l$（$0\leq l<+\infty$），且 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛。
要点3：两个重要的常数项级数——等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty}aq^{n-1}$ 当 $|q|<1$ 时收敛，$|q|\geq 1$ 时发散；$p$-级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛，$p\leq 1$ 时发散。
要点4：绝对收敛与条件收敛——若 $\sum|u_n|$ 收敛，则称 $\sum u_n$ 绝对收敛；若 $\sum u_n$ 收敛而 $\sum|u_n|$ 发散，则称 $\sum u_n$ 条件收敛。定理：若 $\sum u_n$ 绝对收敛，则 $\sum u_n$ 必定收敛。注意：讨论一般级数的收敛性，可先从 $\sum|u_n|$ 开始；若 $\sum|u_n|$ 发散不能推出 $\sum u_n$ 发散，但若通过比值审敛法或根值审敛法判定 $\sum|u_n|$ 发散，则 $\sum u_n$ 必定发散。
📋 解题步骤
1
判断第一个级数的收敛性
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考虑 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin na}{n^2}$。因为 $\left|\dfrac{\sin na}{n^2}\right| \le \dfrac{1}{n^2}$，而 $p$级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ 收敛，故由比较判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|\dfrac{\sin na}{n^2}\right|$ 收敛，从而 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin na}{n^2}$ 绝对收敛（也就是收敛）。
2
判断第二个级数的收敛性
▼
考虑 $\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{1/2}}$。这是 $p=\dfrac{1}{2}<1$ 的 $p$级数，故该级数发散。
3
判断原级数的收敛性
▼
原级数为两个级数之差：$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{\sin na}{n^2}-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin na}{n^2} - \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}$。因为收敛级数与发散级数之差仍为发散级数，故原级数发散。
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