第52题
判定级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n 2^n n!}{n^n}$ 是否收敛，若收敛，请说明是绝对收敛还是条件收敛。
答案
绝对收敛
📖 前置知识梳理
▼
本题考查交错级数的敛散性判断，使用比值审敛法（达朗贝尔判别法）。
要点1：比值审敛法——设 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 为正项级数，如果 $\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，则当 $\rho<1$ 时级数收敛；当 $\rho>1$（或极限为 $\infty$）时级数发散；当 $\rho=1$ 时级数可能收敛可能发散。
要点2：根值审敛法（柯西判别法）——设 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 为正项级数，如果 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$，则当 $\rho<1$ 时收敛，$\rho>1$ 时发散，$\rho=1$ 时不确定。
要点3：莱布尼茨定理——若交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$ 满足 $u_n\geq u_{n+1}$ 且 $\lim_{n\to\infty}u_n=0$，则级数收敛。注意：若通过比值审敛法或根值审敛法判定 $\sum|u_n|$ 发散，则 $\sum u_n$ 必定发散。
要点1：比值审敛法——设 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 为正项级数，如果 $\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$，则当 $\rho<1$ 时级数收敛；当 $\rho>1$（或极限为 $\infty$）时级数发散；当 $\rho=1$ 时级数可能收敛可能发散。
要点2：根值审敛法（柯西判别法）——设 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 为正项级数，如果 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$，则当 $\rho<1$ 时收敛，$\rho>1$ 时发散，$\rho=1$ 时不确定。
要点3：莱布尼茨定理——若交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$ 满足 $u_n\geq u_{n+1}$ 且 $\lim_{n\to\infty}u_n=0$，则级数收敛。注意：若通过比值审敛法或根值审敛法判定 $\sum|u_n|$ 发散，则 $\sum u_n$ 必定发散。
📋 解题步骤
1
考虑绝对值级数
▼
记 $u_n = \left|\dfrac{(-1)^n 2^n n!}{n^n}\right| = \dfrac{2^n n!}{n^n}$，考虑 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$。
2
应用比值判别法
▼
$$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n n!} = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n} = \frac{2}{e} < 1$$其中 $(n+1)! = (n+1)\cdot n!$，$(n+1)^{n+1}=(n+1)\cdot(n+1)^n$，约分后得 $\dfrac{n^n}{(n+1)^n}=\dfrac{1}{(1+1/n)^n}$
3
得出结论
▼
由比值（达朗贝尔）判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。因此原级数绝对收敛。
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