第53题
已知幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{n}$，(1) 计算收敛半径 $R$；(2) 求收敛域；(3) 计算和函数 $S(x)$。
答案
(1) $R=1$；(2) 收敛域为 $[1,3)$；(3) $S(x)=-\ln(3-x)$，$1\leq x<3$
📖 前置知识梳理
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本题考查幂级数的收敛半径、收敛域及和函数的求解。
要点1：求 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ 收敛半径公式——若 $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$，则收敛半径 $R=\begin{cases}\frac{1}{\rho}, & \rho\neq 0 \ +\infty, & \rho=0 \ 0, & \rho=+\infty\end{cases}$。
要点2：幂级数和函数的性质——(1) 和函数 $S(x)$ 在其收敛域 $I$ 上连续；(2) 和函数在收敛域上可积，且 $\int_0^x S(t)dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$；(3) 和函数在收敛区间 $(-R,R)$ 内可导，且 $S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_n x^{n-1}$。
要点3：常用幂级数和函数——$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots$（$-1<x<1$）。
要点1：求 $\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ 收敛半径公式——若 $\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$，则收敛半径 $R=\begin{cases}\frac{1}{\rho}, & \rho\neq 0 \ +\infty, & \rho=0 \ 0, & \rho=+\infty\end{cases}$。
要点2：幂级数和函数的性质——(1) 和函数 $S(x)$ 在其收敛域 $I$ 上连续；(2) 和函数在收敛域上可积，且 $\int_0^x S(t)dt=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$；(3) 和函数在收敛区间 $(-R,R)$ 内可导，且 $S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}na_n x^{n-1}$。
要点3：常用幂级数和函数——$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots$（$-1<x<1$）。
📋 解题步骤
1
计算收敛半径
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令 $t=x-2$，级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n}$。计算 $\rho=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1$，故收敛半径 $R=1$。
2
判断收敛域
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当 $t=-1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$ 收敛；当 $t=1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ 发散。故 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n}$ 的收敛域为 $[-1,1)$，原级数收敛域为 $[1,3)$。
3
求和函数
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设 $S(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n}$，逐项求导得 $S'(t)=\sum_{n=1}^{\infty}t^{n-1}=\frac{1}{1-t}$。积分得 $S(t)=\int_0^t\frac{1}{1-t}\,\mathrm{d}t=-\ln(1-t)$，$-1\leq t<1$。
4
代回原变量
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代入 $t=x-2$，得 $S(x)=-\ln(3-x)$，$1\leq x<3$。
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