令 $t=x-2$，级数变为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n}$。计算 $\rho=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1$，故收敛半径 $R=1$。

当 $t=-1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$ 收敛；当 $t=1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ 发散。故 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n}$ 的收敛域为 $[-1,1)$，原级数收敛域为 $[1,3)$。

设 $S(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^n}{n}$，逐项求导得 $S'(t)=\sum_{n=1}^{\infty}t^{n-1}=\frac{1}{1-t}$。积分得 $S(t)=\int_0^t\frac{1}{1-t}\,\mathrm{d}t=-\ln(1-t)$，$-1\leq t<1$。

代入 $t=x-2$，得 $S(x)=-\ln(3-x)$，$1\leq x<3$。